Zaznaczenie na płaszczyźnie

olkaaa · Post autor: **olkaaa** » 19 lis 2016, o 15:11

Nie do końca wiem jak ugryźć te przykłady, nie chce to wyjść tak jak powinno :/ Muszę zaznaczyć na płaszczyźnie Gaussa:

1. \(\displaystyle{ \sqrt{z+ \vec{z}^{2}}= \frac{1}{2} \cdot Im(z)}\)
\(\displaystyle{ \vec{z}}\)- sprzężenie bo nie wiem jak to oznaczyć

2. arg\(\displaystyle{ \frac{ z^{3} }{i-1}= \frac{ \pi }{4}}\)
arg oznacza argument czyli kąt, dobrze myślę?

squared · Post autor: **squared** » 19 lis 2016, o 15:18

No po prostu postawiamy \(\displaystyle{ z=x+iy}\) w pierwszym przykładzie.

\(\displaystyle{ \sqrt{z+ \vec{z}}= \frac{1}{2} \cdot \Im (z) \\
\sqrt{2x}=\frac{y}{2}}\)
Możliwe jest tylko, by \(\displaystyle{ x\geq 0}\). W innym wypadku masz po lewej stronie liczbę z niezerową częścią \(\displaystyle{ \Im}\), a po prawej liczbę rzeczywistą, czyli nigdy tak nie może być np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}ai=\frac{y}{2} \rightarrow i=\frac{-y}{2\sqrt{2}a}}\) (sprzeczność).

olkaaa pisze:2. arg\(\displaystyle{ \frac{ z^{3} }{i-1}= \frac{ \pi }{4}}\)
arg oznacza argument czyli kąt, dobrze myślę?

Tak.

W tym przypadku najlepiej skorzystać z faktu, że
\(\displaystyle{ \arg z = \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow z=t+it,t > 0}\)

Masz wtedy:
\(\displaystyle{ \arg\frac{ z^{3} }{i-1}=\arg (t+it)}\).

Zatem wiesz, że liczba \(\displaystyle{ \frac{ z^{3} }{i-1}}\) musi być postaci \(\displaystyle{ t+it, t>0}\). Podstawiłbym: \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i poprzekształcał sobie lewą stronę i przyrównał do prawej. Układ równań da zależności: \(\displaystyle{ x(t), y(t), t>0}\). Ja bym tak to zrobił. Wtedy tak, jakby otrzymasz krzywą zadaną parametrycznie.

olkaaa · Post autor: **olkaaa** » 19 lis 2016, o 15:41

squared pisze: \(\displaystyle{ \sqrt{2x}=\frac{y}{2}}\)

skąd 2x pod pierwiastkiem?
skoro jeśli dobrze robię to pod pierwiastkiem mamy to: \(\displaystyle{ \sqrt{z+ \vec{z}}= \sqrt{x+yi+ x^{2}-2xyi-y^{2} }}\)

squared · Post autor: **squared** » 19 lis 2016, o 15:45

\(\displaystyle{ z=x+yi, \vec{z}=x-yi}\). Jak zsumujesz zostaje \(\displaystyle{ 2x}\).

olkaaa · Post autor: **olkaaa** » 19 lis 2016, o 15:48

Mój błąd w przepisywaniu - mam tam pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ z+ \vec{z}^2}\)

A w drugim - \(\displaystyle{ z^{3}}\) wzorem skróconego mnożenia, bo inaczej chyba na zmiennych nie da rady, nie?

squared · Post autor: **squared** » 19 lis 2016, o 16:06

No to wtedy w pierwszym masz:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+yi+ x^{2}-2xyi-y^{2} } = \frac{1}{2}y \\
x+yi+ x^{2}-2xyi-y^{2} = \frac{1}{4}y^2 \\
\begin{cases} x^2+x-y^2=\frac{1}{4}y^2 \\ y-2xy=0 \rightarrow y(1-2x)=0 \end{cases}}\)

I masz dwa przypadki: \(\displaystyle{ y=0}\) i wstawiasz to do pierwszego i wyliczasz \(\displaystyle{ x}\).
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\). Wstawiasz do pierwszego i wyliczasz \(\displaystyle{ y}\).

olkaaa · Post autor: **olkaaa** » 19 lis 2016, o 16:25

A czemu \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)

squared · Post autor: **squared** » 19 lis 2016, o 16:27

A jakie jest rozwiązanie równania: \(\displaystyle{ 1-2x=0}\)?

olkaaa · Post autor: **olkaaa** » 19 lis 2016, o 16:41

Dobra dobra widzę, dzięki! Myślałam, że mowa o drugim przykładzie a nie przypadku rozwiązania pierwszego, moja pomyłka -- 24 lis 2016, o 18:11 --

squared pisze:
olkaaa pisze:2. arg\(\displaystyle{ \frac{ z^{3} }{i-1}= \frac{ \pi }{4}}\)
arg oznacza argument czyli kąt, dobrze myślę?
Tak.

W tym przypadku najlepiej skorzystać z faktu, że
\(\displaystyle{ \arg z = \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow z=t+it,t > 0}\)

Masz wtedy:
\(\displaystyle{ \arg\frac{ z^{3} }{i-1}=\arg (t+it)}\).

Zatem wiesz, że liczba \(\displaystyle{ \frac{ z^{3} }{i-1}}\) musi być postaci \(\displaystyle{ t+it, t>0}\). Podstawiłbym: \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i poprzekształcał sobie lewą stronę i przyrównał do prawej. Układ równań da zależności: \(\displaystyle{ x(t), y(t), t>0}\). Ja bym tak to zrobił. Wtedy tak, jakby otrzymasz krzywą zadaną parametrycznie.

W kwestii tego zadania - skąd biorę drugie równanie? Bo rozpisałam lewą stronę i teraz przyrównuję współczynniki rzeczywiste z urojonymi - bo muszą być takie same i większe od 0. Wyszło mi jednak chyba coś źle, gdzie popełniam błąd?

\(\displaystyle{ \frac{z^{3}}{i-1}= \frac{(x+yi)^{3}}{i-1}= \frac{x^{3}+3x^{2}yi-3xy^{2}-y^{3}i}{i-1}* \frac{-1-i}{-1-i}= \frac{-x^{3}-3x^{2}yi+3xy+y^{3}i-x^{3}i+3x^{2}y+3xyi+y^{3}}{2}}\)

Dochodzę po lewej stronie do takiej postaci i teraz zapisuję równość współczynników:
\(\displaystyle{ -x^{3}+3xy+3x^{2}y+y^{3}=-3x^{2}y+y^{3}-x^{3}+3xy}\)
Większość się upraszcza i dochodzę do tego, że:
\(\displaystyle{ 6x^{2}y=0}\)
A tym sposobem nie dojdę do poprawnego rozwiązania. Gdzie popełniam błąd?

squared · Post autor: **squared** » 24 lis 2016, o 18:28

Może lepiej i szybciej inaczej.

\(\displaystyle{ \frac{z^3}{1-i}=\frac{z^3(1+i)}{2}}\).

Z postaci trygonometrycznej liczb wiemy, że:
\(\displaystyle{ \arg{z_1z_2}=\arg{z_1}+\arg z_2}\) (brane oczywiście z dokładnością do odpowiedniego przedziału).

Ponadto: \(\displaystyle{ \arg (ku)=\arg u, \ \ \ \ \ k\in\RR, u\in\CC}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \arg{\frac{z^3(1+i)}{2}}=\arg{z^3} + \arg(1+i)=\frac{\pi}{4} \\
\arg{z^3}=0 \Leftrightarrow \Re z^3 >0 \wedge \Im z^3 = 0}\)

A teraz postaw sobie: \(\displaystyle{ x+iy=z}\) i dolicz, nie powinno już teraz być trudno.

olkaaa · Post autor: **olkaaa** » 24 lis 2016, o 18:42

Super, bardzo dziękuję!

-- 24 lis 2016, o 19:47 --

W efekcie otrzymuję układ:
\(\displaystyle{ x(x^{2}-3y)>0}\)
oraz
\(\displaystyle{ y(3x^{2}-y^{2})=0}\)
dobrze?

squared · Post autor: **squared** » 25 lis 2016, o 22:57

squared pisze:Ponadto: \(\displaystyle{ \arg (ku)=\arg u, \ \ \ \ \ k\in\RR, u\in\CC}\)

Drobna poprawka:
\(\displaystyle{ \arg (ku)=\arg u, \ \ \ \ \ k\in\RR_{+}, u\in\CC}\)