Postać trygonometryczna liczby zespolonej

[kuba_]

Liczbę \(\displaystyle{ z=1+\sin \alpha -i \cos \alpha}\) przedstawić w postaci trygonometrycznej, tj. \(\displaystyle{ z=|z|(\cos \phi + i \sin \phi)}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi=f(\alpha)}\)

Mam więc moduł \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2+2 \sin \alpha}}\)
\(\displaystyle{ \cos \phi = \sqrt{ \frac{1+\sin \alpha}{2}}}\)
oraz \(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{2+2 \sin \alpha}}}}\).

W jaki sposób mogę teraz poprzekształcać \(\displaystyle{ \cos \phi}\) i \(\displaystyle{ \sin \phi}\), aby dostać postać trygonometryczną?

[kerajs]

Przez podstawienie:
\(\displaystyle{ \sin \alpha =\cos \left( \frac{3 \pi }{2} +\alpha\right)}\)
i przejście na kąt połówkowy.


Można to było wykorzystać na samym początku:
\(\displaystyle{ z=1+\sin \alpha -i \cos \alpha=1+\cos \left( \frac{3 \pi }{2} +\alpha\right) +i \sin \left( \frac{3 \pi }{2} +\alpha\right)=\\=2\cos^2\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)
+2\sin\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)=2\cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\left[ \cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)+i\sin\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\right]}\)

Edit:
Jak Lider_M pokazał, potrzebne są założenia:
1) Dla \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ z=1+\sin \alpha -i \cos \alpha=2\cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\left[ \cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)+i\sin\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\right]}\)
2) Dla \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right) < 0}\)
\(\displaystyle{ z=1+\sin \alpha -i \cos \alpha=2\cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\left[ \cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)+i\sin\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\right]=}\)
\(\displaystyle{ =-2\cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\left[ -\cos\left( \frac{3 \pi }{4} - \frac{ \alpha}{2}\right)-i\sin\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\right]=}\)
\(\displaystyle{ =-2\cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\left[ \cos\left( \pi + \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)+i\sin\left( \pi+ \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\right]=}\)
\(\displaystyle{ =-2\cos\left( \frac{3 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\left[ \cos\left( \frac{7 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)+i\sin\left( \frac{7 \pi }{4} + \frac{ \alpha}{2}\right)\right]}\)

[Lider_M]

Jeszcze nie jest to postać trygonometryczna, np. co jeżeli \(\displaystyle{ 2\cos\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)<0}\)?