Oblicz wyrażenie. (sin-cos)

[czesio246]

Mam problem, żeby obliczyć następujące wyraże[nie z pomocą wzoru de Moivre'a.
\(\displaystyle{ z= \left( \sin \frac{ \pi }{12}-i\cos \frac{ \pi }{12} \right) ^{18}}\)
Najpierw policzyłem moduł z z, który wynosi 1.
No i pózniej chcę policzyć \(\displaystyle{ \cos \alpha = \sin \frac{ \pi }{12}=\cos \frac{5 \pi }{12}}\) ze wzoru redukcyjnego.
Następnie to samo robię z sinusem, który równa się \(\displaystyle{ \sin \frac{17\pi}{12}}\), jednak nie mogę znalezc wspólnego kąta dla tych wartości, więc gdzieś popełniłem błąd.
Proszę o wskazanie błędu lub o inne rozwiązanie tego zadania. Dziękuję za pomoc.

[kerajs]

Dodatni kosinus i ujemny sinus są w IV ćwiartce.
Stąd :
\(\displaystyle{ \sin \left( - \frac{ \pi }{12} \right) =- \sin \frac{ \pi }{12} \\
\cos \left( - \frac{ \pi }{12} \right) =\cos \frac{ \pi }{12} \\
\left( \cos \frac{ \pi }{12} -i\sin \frac{ \pi }{12} \right) ^{18}= \left( \cos \left( - \frac{ \pi }{12} \right) +i\sin \left( - \frac{ \pi }{12} \right) \right) ^{18}=....}\)

EDIT:
Sorry, przecież to inny przykład.
Dodatni kosinus i ujemny sinus są w IV ćwiartce. Skoro funkcje mają przejść w kofunkcje to we wzorze redukcyjnym ma być nieparzysta ilość \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{3 \pi }{2}+ \alpha )=-\cos \alpha \\
\cos ( \frac{3 \pi }{2}+ \alpha )=\sin \alpha \\
\sin \frac{ 19\pi }{12} = -\cos \frac{ \pi }{12} \\
\cos \frac{19 \pi }{12} =\sin \frac{ \pi }{12} \\
\left( \sin \frac{ \pi }{12} -i\cos \frac{ \pi }{12} \right) ^{18}= \left( \cos \frac{19 \pi }{12} +i\sin \frac{ 19\pi }{12} \right) ^{18}=....}\)
Albo, aby łatwiej liczyć:
\(\displaystyle{ \left( \sin \frac{ \pi }{12} -i\cos \frac{ \pi }{12} \right) ^{18}= \left( \cos \frac{19 \pi }{12} +i\sin \frac{ 19\pi }{12} \right) ^{18}= \left( \cos \frac{ -5\pi }{12} +i\sin \frac{ -5\pi }{12} \right) ^{18}=....}\)

[kinia7]

\(\displaystyle{ z= \left( \sin \frac{ \pi }{12}-i\cos \frac{ \pi }{12} \right) ^{18}}\)

\(\displaystyle{ \left( \cos \frac{ \pi }{12} -i\sin \frac{ \pi }{12} \right) ^{18}=....}\)

\(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{12} -i\sin \frac{ \pi }{12}\red{\ \neq \ }\black \sin \frac{ \pi }{12}-i\cos \frac{ \pi }{12}}\)