Rozwiąż równanie.

[tangerine11]

\(\displaystyle{ -i(\overline{z})^{4}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ 64|z|^{6}z^{-8}}\)

Bardzo proszę o pomoc, rady, wskazówki albo rozwiązanie... Jedyne do czego doszłam to że przy podniesieniu \(\displaystyle{ z^{-8}}\) z postaci trygonometrycznej skróci mi się z \(\displaystyle{ |z|^{6}}\) ale nic więcej nie jestem w stanie ruszyć

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ z=0}\) to równanie jest spełnione. Dalej załóż, że \(\displaystyle{ z\neq 0}\), pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ z^8=z^4 z^4}\), skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ z \overline z=|z|^{2}}\),
podziel stronami przez \(\displaystyle{ |z|^4}\) i przejdź na postać trygonometryczną lub wykładniczą - jak Ci wygodniej.
W postaci trygonometrycznej moduły obu stron muszą być równe, a kąty równe z dokładnością do krotności \(\displaystyle{ 2\pi}\). Przyda się jeszcze wzór de Moivre'a.

[Lider_M]

Liczba \(\displaystyle{ 0}\) od razu jest wykluczona z dziedziny.

Można też od razu przejść do postaci trygonometrycznej.

[Premislav]

Liczba \(\displaystyle{ 0}\) od razu jest wykluczona z dziedziny.

Faktycznie, dzięki.

[tangerine11]

Liczba \(\displaystyle{ 0}\) od razu jest wykluczona z dziedziny. .

jaka jest dziedzina?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\}}\)

[tangerine11]

\(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\}}\)

dlaczego wyrzucamy 0?

[Premislav]

Bo po prawej masz \(\displaystyle{ z^{-8}}\), co nie ma sensu dla \(\displaystyle{ z=0}\) - w pierwszej chwili, jak widać, też to przeoczyłem.

[tangerine11]

Dla \(\displaystyle{ z=0}\) to równanie jest spełnione. Dalej załóż, że \(\displaystyle{ z\neq 0}\), pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ z^8=z^4 z^4}\), skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ z \overline z=|z|^{2}}\),
podziel stronami przez \(\displaystyle{ |z|^4}\) i przejdź na postać trygonometryczną lub wykładniczą - jak Ci wygodniej.
W postaci trygonometrycznej moduły obu stron muszą być równe, a kąty równe z dokładnością do krotności \(\displaystyle{ 2\pi}\). Przyda się jeszcze wzór de Moivre'a.

mam \(\displaystyle{ -i|z|^{8}z^{4} = 64 |z|^{6}}\)

Podzielić przez \(\displaystyle{ |z|^{6}}\)?

[Premislav]

Tak, sorry, przez \(\displaystyle{ |z|^6}\). Potem postać trygonometryczna albo wykładnicza, jak pisałem.

[tangerine11]

czyli dochodzę do \(\displaystyle{ |z|^{6}(cos4 \alpha + i sin4 \alpha) = 64i}\)

Stąd \(\displaystyle{ |z|^{6}cos4 \alpha = 0}\) i \(\displaystyle{ |z|^{6}sin4 \alpha = 64}\)
czyli \(\displaystyle{ cos4 \alpha=0}\)

Dobrze myślę?

[Premislav]

czyli dochodzę do \(\displaystyle{ |z|^{6}(cos4 \alpha + i sin4 \alpha) = 64i}\)

to prawda.
Dalsze wnioski też poprawne. Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ |z|^6=64 \Leftrightarrow |z|=2}\)

[tangerine11]

Dlaczego ten moduł jest równy 64, a co z tym sinusem? Mam wymyślić że jeżeli \(\displaystyle{ cos \alpha = 0}\) to \(\displaystyle{ sin \alpha = +/- 1}\) i stąd, czy w którym momencie powinnam to zauważyć?

___
Dochodzę do wniosku że \(\displaystyle{ \alpha \in \left\{ \frac{ \pi }{8}, \frac{ 5\pi }{8},\frac{ 9\pi }{8},\frac{ 13\pi }{8} \right\}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ \left| z \right| = 2}\).

W interpretacji geometrycznej będą to cztery punkty na płaszczyźnie, tak?

[Premislav]

No bo moduły obydwu stron w równości
\(\displaystyle{ |z|^{6}(cos4 \alpha + i sin4 \alpha) = 64i}\)
mają być równe, a moduł iloczynu liczb zespolonych to iloczyn ich modułów oraz \(\displaystyle{ |i|=1}\).
A z sinusem - można zrobić tak, jak piszesz. Ale ja bym zapisał w ogóle i w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \cos (\frac{\pi}{2}+2k\pi)+i\sin (\frac{\pi}{2}+2k\pi)}\)
i przyrównywał oddzielnie moduły oraz argumenty kątowe.