Pierwiastek trzeciego stopnia

[kombajn665]

Nie za bardzo rozumiem co tu się dzieje
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{27i}}\)
\(\displaystyle{ 27i=27(\cos( \frac{\pi}{2})+i\sin( \frac{\pi}{2}))}\) - rozumiem
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{27i}=3(\cos( \frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{6} )+i\sin( \frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{6}))}\) - po co to \(\displaystyle{ \frac{2k\pi}{6}}\) i czemu podzielone przez 6?

1. k=0 \(\displaystyle{ \sqrt[3]{27i}=3(\cos( \frac{\pi}{6}) + i\sin( \frac{\pi}{6}))}\)
I analogicznie dla k=1, k=2. Dlaczego 3 przypadki ?

[Premislav]

Powinno być podzielone przez \(\displaystyle{ 3}\), a nie \(\displaystyle{ 6}\), tj. poprawna wersja (choć takiego zapisu nie lubię):

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{27i}=3\left( \cos\left( \frac{\pi}{6}+\frac 2 3 k \pi \right)+i \sin\left( \frac{\pi}{6}+\frac 2 3 k \pi \right) \right), k=0,1,2}\)

Dla ustalonej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z \neq 0}\) mamy dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych n-tego stopnia (\(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)) z \(\displaystyle{ z}\) (tutaj oczywiście \(\displaystyle{ n=3, z=27i}\)). Sinus i cosinus są funkcjami okresowymi. No i kluczowy jest tu wzór de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (\cos \alpha+i\sin \alpha)^n=\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)}\). Wobec tego jeśli sobie weźmiesz jakąś liczbę zespoloną \(\displaystyle{ w}\), która spełnia \(\displaystyle{ w^n=z}\) (tj. konkretny pierwiastek zespolony \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ z)}\), to liczby
\(\displaystyle{ w_k=w\left( \cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k=1, \dots n-1}\)
też spełniają \(\displaystyle{ w_k^n=z}\).