Nierówność z modułem

[kombajn665]

\(\displaystyle{ \left| \frac{z-i}{z+2+i} \right| \ge 1}\)
Czy mogę to rozbić na przypadki?
1. \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+2+i} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ z-i \ge z+2+1}\)
\(\displaystyle{ 0 \ge 1+i}\)
Sprzeczność czy nie?

2. \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+2+i} \le -1}\)
\(\displaystyle{ 2z+2\le 0}\)

Jak to narysować? Albo czy jest lepszy sposób rozwiązania?

[Premislav]

Jest to błąd krytyczny, po napisaniu tego występuje blue screen of death. Nie możemy porównywać liczb zespolonych nierzeczywistych (co najwyżej ich moduły). Poczytaj o tym, czym jest moduł liczby zespolonej i czym jest liczba zespolona, bo to jednak coś istotnie innego niż wartości bezwzględne liczb rzeczywistych w szkole średniej.
Łączy te sprawy intuicja na temat odległości.

[Janusz Tracz]

Tak nie można bo co niby miało by znaczyć np. \(\displaystyle{ z \le i}\) ?

Spróbuj tak
\(\displaystyle{ \left| \frac{z-i}{z+2+i} \right| \ge 1}\)

\(\displaystyle{ |z-i| \ge |z+2+i|}\) (pamiętamy o dziedzinie!)

i tu można skorzystać z interpretacji geometrycznej co da dolną półpłaszczyznę o granicy będącej proslą symetralną odcinka \(\displaystyle{ i=(0,1)}\) \(\displaystyle{ -2-i=(-2,-1)}\)

albo można podstawić \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i wtedy dostaniemy zależność między \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) określającą obszar będący odpowiedzią na zadanie.