Rozkład funkcji wymiernych na zespolone ułamki proste

[addme96]

Dzień dobry,
zadanie jest takie:

Zaproponować rozkłady podanych zespolonych funkcji wymiernych właściwych na zespolone ułamki
proste (nie obliczać nieznanych współczynników):
a)
\(\displaystyle{ \frac{z^3+i}{z^2(z-2i)^3}}\)
b)
\(\displaystyle{ \frac{z^2+z+5}{(z+1)(z+i)^2[z-(1+i)]^3}}\)
c)
\(\displaystyle{ \frac{iz+7}{(x^4-4)^2}}\)

Czy mógłby ktoś pokazać mi na jednym z przykładów jak w miarę sprytnie sobie poradzić z tym zadaniem?

[szw1710]

Czy wiesz, jak to się robi w przypadku rzeczywistym, gdy mianownik ma pełny rozkład na czynniki liniowe (tj. brak trójmianów nierozkładalnych)? Postąp analogicznie.

[addme96]

OK, to idąc za tym, co jest na Wikipedii o ułamkach prostych, powinienem zacząć od tego?
a)
\(\displaystyle{ \frac{z^3+i}{z^2(z-2i)^3}= \frac{A}{z^2}+ \frac{B}{z-2i}+ \frac{C}{(z-2i)^2}+ \frac{D}{(z-2i)^3}}\)

[szw1710]

Odnośnie czynnika \(\displaystyle{ z-2i}\) w porządku. Popraw część z \(\displaystyle{ z^2}\).

[addme96]

czy tak?
\(\displaystyle{ \frac{z^3+i}{z^2(z-2i)^3}= \frac{A}{z}+ \frac{B}{z^2}+ \frac{C}{z-2i}+ \frac{D}{(z-2i)^2}+ \frac{E}{(z-2i)^3}}\)

[szw1710]

Teraz w porządku. Jak widzisz, przypadek zespolony jest prostszy niż rzeczywisty.

[addme96]

OK, jak policzę to zapodam do sprawdzenia wszystko, dziękuję.

-- 12 lis 2016, o 17:48 --

Jeszcze jedno pytanko, bo jakoś mnie dezorientuje to zadanie. Czy te wyrażenia przy \(\displaystyle{ A,B,C,D,E}\) mogę wymnożyć ze wzoru skróconego mnożenia czy muszę to ze wzoru de Moivre'a. Tzn. jak zrobić to najszybciej?
\(\displaystyle{ z^3+i=Az(z-2i)^3+B(z-2i)^3+Cz^2(z-2i)^2+Dz^2(z-2i)+Ez^2}\)

-- 12 lis 2016, o 18:35 --

Wynik do a):
\(\displaystyle{ A= \frac{3}{32i} \\
B= \frac{1}{8} \\
C= -\frac{3}{32i} \\
D= \frac{17}{16} \\
E= \frac{34i}{16} \\}\)
Niech mi ktoś powie, że się nie pomyliłem i że mogę iść dalej

-- 12 lis 2016, o 19:17 --

W treści zadania jest napisane "nie obliczać nieznanych współczynników".
czy \(\displaystyle{ A,B,C,D,E}\) nie są przypadkiem nieznanymi współczynnikami, które obliczyłem?
Musi istnieć prostszy sposób na to zadanie...

[Dasio11]

Wymnażanie to chyba najprostszy sposób.

W treści zadania jest napisane "nie obliczać nieznanych współczynników".
czy \(\displaystyle{ A,B,C,D,E}\) nie są przypadkiem nieznanymi współczynnikami, które obliczyłem?

Są. Należało poprzestać na:

\(\displaystyle{ \frac{z^3+i}{z^2(z-2i)^3}= \frac{A}{z}+ \frac{B}{z^2}+ \frac{C}{z-2i}+ \frac{D}{(z-2i)^2}+ \frac{E}{(z-2i)^3}}\)