Rozwiązać równanie, po czym naszkicować zbiór

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
loreprospector
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 20 wrz 2015, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw

Rozwiązać równanie, po czym naszkicować zbiór

Post autor: loreprospector »

Zad. 1 Przeprowadzić odpowiednie obliczenia, po czym naszkicować zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ {z} \in C : 2\bar{z}\left|{z}\right|^{2} = \left( {i} \sqrt{3} - {1} \right) {z}^{3} \right\}}\)

Zauważyłem, że rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ {z} = 0}\).

Szukając pozostałych rozwiązań, zwykle przekształcałem je do poniższej formy, zakładając, że \(\displaystyle{ {z} \neq 0}\), więc:

\(\displaystyle{ \left( \frac{\bar{z}}{|z|} \right) ^{4} = \frac{1}{2} \left( {i} \sqrt{3} - {1} \right)}\), czyli
\(\displaystyle{ \left( \cos \left( -\theta \right) + i\sin \left( -\theta \right) \right) ^{4} = \cos \frac{{2} \pi}{3} + i\sin \frac{{2} \pi}{3}}\)

Co robię źle?

*Chyba, że - jakimś cudem - wszystko jest w porządku i kolejnymi rozwiązaniami są pierwiastki tej liczby po lewej stronie równania?

Edit: Wybaczcie ten "wymagający od Was czegoś ton". Nie powinienem tak zaczynać. Kombinuję już jakiś czas, a mam wrażenie, że nie mam pojęcia, co robię (nie zdziwię się, jeżeli tak właśnie jest). Dzięki z góry za pomoc.
Ostatnio zmieniony 7 lis 2016, o 07:33 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Rozwiązać równanie, po czym naszkicować zbiór

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \left\{ {z} \in C : 2\bar{z}\left|{z}\right|^{2} = \left( {i} \sqrt{3} - {1} \right) {z}^{3} \right\}}\)
\(\displaystyle{ 2\left| z\right|e ^{i(- \alpha )} \left| z\right|^2=2e ^{i \frac{2 \pi }{3} }\left| z\right|^3e ^{i3 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ 2\left| z\right|^3e ^{i(- \alpha +k2 \pi )} =2\left| z\right|^3e ^{i(\frac{2 \pi }{3}+3 \alpha )}}\)
\(\displaystyle{ \left( \left| z\right|=0\right) \vee \left( \left| z\right| \in \RR_+ \wedge (- \alpha +k2 \pi =\frac{2 \pi }{3}+3 \alpha) \right) \\
\left( \left| z\right|=0\right) \vee \left( \left| z\right| \in \RR_+ \wedge ( \alpha =\frac{- \pi }{6}+k \frac{ \pi }{2}) \right)}\)
loreprospector
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 20 wrz 2015, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw

Rozwiązać równanie, po czym naszkicować zbiór

Post autor: loreprospector »

Aż mi głupio, gdy widzę te rozwiązanie. Dziękuję .

Tylko dlaczego wykorzystał Pan postać ogólną \(\displaystyle{ \left|z \right|^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \left|z \right|^{2}=\left|z \right|^{2}(\cos({{2}{k}\pi) + i\sin({2}{k}\pi))}\), a \(\displaystyle{ {z}}\) oraz \(\displaystyle{ {\bar{z}}}\) pozostawił Pan bez zmian (bez postaci ogólnej: \(\displaystyle{ + 2{k}\pi}\), a biorąc tylko \(\displaystyle{ {k}={0}}\))?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Rozwiązać równanie, po czym naszkicować zbiór

Post autor: kerajs »

loreprospector pisze: Tylko dlaczego wykorzystał Pan postać ogólną \(\displaystyle{ \left|z \right|^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \left|z \right|^{2}=\left|z \right|^{2}(\cos({{2}{k}\pi) + i\sin({2}{k}\pi))}\)
Tak nie zrobiłem. Moduł, który jest liczbą, zostawiałem nieprzekształcony.

Liczbę z przedstawić można w postaci ogólnej, trygonometrycznej lub wykładniczej.
\(\displaystyle{ z=a+ib=\left| z\right|(\cos \alpha +i\sin \alpha ) =\left| z\right| e ^{i \alpha }}\)

Ja korzystałem z tej trzeciej:
\(\displaystyle{ \bar{z}=\left| z\right|e ^{i(- \alpha )}\\
i \sqrt{3} - {1} =2e ^{i \frac{2 \pi }{3} } \\
z^{3} =\left| z\right|^3e ^{i3 \alpha }}\)


Problematycznym może być dopisanie okresowości tylko w jednym z wykładników. Ja po prostu wiem, a mogę się mylić, że tu jest to wystarczające jednak proponuję Ci sprawdzenie czy otrzymasz identyczny wynik gdy dopiszesz ją wszędzie:
\(\displaystyle{ 2\left| z\right|^3e ^{i(- \alpha +k2 \pi )} =2\left| z\right|^3e ^{i(\frac{2 \pi }{3}+k'2 \pi+3 \alpha +k''6 \pi)}}\)
ODPOWIEDZ