Naszkicuj zbiór

max123321 · Post autor: **max123321** » 3 lis 2016, o 16:12

Naszkicuj zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ z \in \CC:\Re\left( \frac{1}{z+1}+ \frac{1}{z-1} \right)>0 \right\}}\)

Niestety wychodzą mi tu koszmarne rachunki. Ktoś coś?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 3 lis 2016, o 17:09

Sprowadź do wspólnego mianownika, zamień na \(\displaystyle{ x+iy}\) i pomnóż przez sprzężenie mianownika wykorzystując wzory skróconego mnożenia. Wyznacz część rzeczywistą. Pokaż, co Ci wyszło.

max123321 · Post autor: **max123321** » 3 lis 2016, o 17:47

Tak robiłem i wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{2x\left( x ^{2}+y ^{2}-1 \right) }{\left( x ^{2}-y ^{2}-1\right) ^{2}-4x ^{2}y ^{2} }>0}\)

Jednak mianownik będzie różnych znaków i z tym jest problem bo wiele przypadków z tego wyjdzie.

Chociaż chwila, chyba widzę błąd. Powinno być chyba:
\(\displaystyle{ \frac{2x\left( x ^{2}+y ^{2}-1 \right) }{\left( x ^{2}-y ^{2}-1\right) ^{2}+4x ^{2}y ^{2} }>0}\)

I teraz mianownik się uprości?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 3 lis 2016, o 18:01

Jeżeli zatroszczyłeś się uprzednio o odpowiednie założenia, to znaczy, że mianownikiem się już nie trzeba przejmować.

max123321 · Post autor: **max123321** » 3 lis 2016, o 18:08

Z dziedziny wypadną tylko dwie liczby: \(\displaystyle{ 1,-1}\).

No, ale z tego dostaje, że:
\(\displaystyle{ x>0 \wedge x ^{2}+y ^{2}>1}\) lub \(\displaystyle{ x<0 \wedge x ^{2}+y ^{2}<1}\)

Czyli wykresem będzie półpłaszczyzna rzeczywista dodatnia bez tego półkola i dla rzeczywistych ujemnych będzie samo to półkole, a wolfram alfa pokazuje mi jakiś inny wykres.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 3 lis 2016, o 18:20

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*%28x%5E2%2By%5E2-1%29%3E0

max123321 · Post autor: **max123321** » 3 lis 2016, o 18:23

Ja wpisałem tą całą formułę z zespolonymi jeszcze:

\(\displaystyle{ \Re\left( \frac{1}{z+1}+ \frac{1}{z-1} \right)>0}\)

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 3 lis 2016, o 19:00

Wpisz to samo bez 'Re' i zobacz, co narysuje.

max123321 · Post autor: **max123321** » 3 lis 2016, o 19:19

Chyba coś źle wpisuję:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28z%2B1%29%2B1%2F%28z-1%29%3E0

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 3 lis 2016, o 19:24

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28z%2B1%29%2B1%2F%28z-1%29%3E0+for+-5%3Cz%3C5

max123321 · Post autor: **max123321** » 3 lis 2016, o 20:23

No właśnie to widziałem. I to jest chyba trochę inne od tego co tam wcześniej wyszło.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 3 lis 2016, o 20:51

Dario, ale jesteś w stanie teraz samodzielnie dopisać to 'Re', porównać i spróbować wyciągnąć wnioski jak Wolfram traktuje zmienną \(\displaystyle{ z}\), czy się będziesz opierał na 'chyba'?

max123321 · Post autor: **max123321** » 3 lis 2016, o 22:48

Jaki Dario?