Rozwiązanie równania z liczbą zespoloną bez użycia dwum.newt

[Jamoci333]

\(\displaystyle{ z^4=\overline{z}^4}\)

Przepraszam za te sprzezenie, ale nie wiem w jaki sposob zapisac to w kodzie.

Zatrzymuje sie na wyznaczeniu

\(\displaystyle{ (x+iy)^4 - (x-iy)^4=0}\)

[Lider_M]

Kod: Zaznacz cały

overline{z}

da \(\displaystyle{ \overline{z}}\).

Fajnie idzie przez postać trygonometryczną.

[Jamoci333]

Mógłbyś zaprezentować?

[Kacperdev]

jezeli \(\displaystyle{ z=\left| z\right|\left( \cos \theta + i\sin \theta\right)}\) to jaki wzór ma \(\displaystyle{ \overline{z}}\) ?

[Jamoci333]

\(\displaystyle{ z= - \left| z\right|\left( \cos \theta + i\sin \theta\right)}\) ??

[Kacperdev]

Nie.
Spojrz na interpretację geometryczną liczby zespolonej. Co się dzieje z kątami.

[Jamoci333]

Są odwracane względem osi re, tylko dalej nie rozumiem jak to się ma do zadania.


\(\displaystyle{ z= \left| x - iy \right|\left( \cos \theta + i\sin \theta\right)}\) ?? w ten sposób?-- 1 lis 2016, o 22:48 --Poza tym w jaki sposób mam zamienić to na postać trygonometryczną bez danego re i im? Wynoszą x i y, nie mam jak policzyć fi.

[Kacperdev]

Nie o to chodzi.

gdy \(\displaystyle{ z=\left| z\right|\left( \cos \theta + i\sin \theta\right)}\) to
\(\displaystyle{ \overline{z}=\left| z\right|\left( \cos -\theta + i\sin -\theta\right)}\)

ze wzoru de Moivre'a \(\displaystyle{ z^{4}=\left| z\right|^{4}\left( \cos 4\theta + i\sin 4\theta\right)}\)

zatem szukamy:

\(\displaystyle{ \left| z\right|^{4}\left( \cos 4\theta + i\sin 4\theta\right)=\left| z\right|^{4}\left( \cos -4\theta + i\sin -4\theta\right)}\)

[Jamoci333]

Jezu, a w jaki sposób wyliczyć wartości

\(\displaystyle{ \cos40 /// \cos-40

i

\sin40 /// \sin-40}\)



Poza tym dlaczego 40*0 = 40????

[Kacperdev]

to nie jest "czterdziesci" tylko "cztery teta" i rozchodzi się o tą thete. (w liczbach zespolonych często używa się thety zamiast alfy)

Wystarczy wiedza na temat trygonometrii ze szkoły średniej.

Zauważamy najpierw, że moduły nie grają tu roli (mozna je zredukować po odrzuceniu zera).

Kosinus jest funkcją parzystą zatem \(\displaystyle{ \cos\left( -\alpha\right)=\cos \alpha}\)
a sinus nieparzystą: \(\displaystyle{ \sin\left( -\alpha\right)=-\sin\alpha}\)

zatem \(\displaystyle{ \cos\left( -4\theta\right)=\cos 4\theta}\) zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ \theta}\)

interesuje nas kiedy: \(\displaystyle{ \sin\left( -4\theta\right)=\sin 4\theta}\)
tu korzystamy z nieparzystości sinusa i interesuje nas równość:

\(\displaystyle{ -\sin\left( 4\theta\right)=\sin\left( 4\theta\right)}\)

ostatecznie: \(\displaystyle{ \sin\left( 4\theta\right)=0}\)

[Jamoci333]

Tylko, że rozwiązania wychodzą zupełnie inne...

\(\displaystyle{ y= 0\\
x= 0\\
x=y\mbox{ lub }x=-y}\)

[Kacperdev]

?

rozwiązując tę równość trygonometryczną otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ \theta \in \left\{ \frac{k\pi}{4}\right\}}\)

\(\displaystyle{ z \in \left\{ a, a+ai,a-ai,ai\right\} \text{ dla } a\in \RR}\)

[Jamoci333]

Wykładowca podał w odpowiedziach tego zadania coś zupełnie innego :/

[Kacperdev]

A co podał?

[Jamoci333]

Już wszystko się zgadza