Oblicz (wykorzystując fakt, że jest to różnica liczb sprzężonych)
\(\displaystyle{ (2+i)^{7} - (2-i)^{7}}\)
To zadanie było już na forum ale udzielone na nie odpowiedzi nie pomogły mi rozwiązać mojego problemu. Jedyny wzór który mógłby być tu pomocny jaki znalazłem w internecie to wzór na sumę liczb wzajemnie sprzężonych czyli \(\displaystyle{ z+\overline{z}=2\Re z}\). Jednak w tym przykłądzie występuje odejmowanie, co zrobić ?
różnica liczb sprzężonych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
różnica liczb sprzężonych
\(\displaystyle{ \Re(z-\overline z)=0\\ \Im(z-\overline z)=2\Im z \\ (\overline z)^k=\overline z^k}\)
(nie mylić z potęgami kroczącymi).
Czyli liczby \(\displaystyle{ (2+i)^7}\) oraz \(\displaystyle{ (2-i)^7}\) są wzajemnie sprzężone i ich różnica to
\(\displaystyle{ 2i \cdot \Im\left( (2+i)^7\right)}\), no a tego to już uprościć nie umiem, trzeba by z dwumianu Newtona. W innym przypadku łatwo mogłoby wyjść ze wzoru de Moivre'a, ale w tym przypadku argument kątowy to jeden wielki śmieć.
Moim zdaniem ta narzucona metoda średnio się tu sprawdza i już wygodniej byłoby użyć wzoru na różnicę n-tych potęg. Ale może czegoś nie widzę...
(nie mylić z potęgami kroczącymi).
Czyli liczby \(\displaystyle{ (2+i)^7}\) oraz \(\displaystyle{ (2-i)^7}\) są wzajemnie sprzężone i ich różnica to
\(\displaystyle{ 2i \cdot \Im\left( (2+i)^7\right)}\), no a tego to już uprościć nie umiem, trzeba by z dwumianu Newtona. W innym przypadku łatwo mogłoby wyjść ze wzoru de Moivre'a, ale w tym przypadku argument kątowy to jeden wielki śmieć.
Moim zdaniem ta narzucona metoda średnio się tu sprawdza i już wygodniej byłoby użyć wzoru na różnicę n-tych potęg. Ale może czegoś nie widzę...