Nietypowe wartości modułu

[kariak97]

Mam problem z zadaniami gdzie przez wartość modułu sinus i cosinus w postaci trygonometrycznej nie odpowiadają stopniom 0, 30, 45, 60, 90 etc.
Przykład:
\(\displaystyle{ (1+2i)(1-i)=3+i}\)
moduł z Z=\(\displaystyle{ \sqrt{10}}\);

Mam też problem z zadaniem innego typu - sprowadzeniem czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2} }}\)\(\displaystyle{ (\cos\frac{ 3\pi }{4} + i \sin\frac{ 3\pi }{4})}\), gdzie moduł z z=\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\), a

sama liczba zespolona w postaci algebraicznej wychodzi mi \(\displaystyle{ z=-1*1i}\).

[bakala12]

Chodzi o zapisanie danej liczby w postacie trygonometrycznej? Otóż nie zawsze ładnie się da. Moduł w postaci \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\) nie zapowiada niczego dobrego.
No bo musimy znaleźć takie \(\displaystyle{ \alpha}\) dla którego:
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} \\
\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}}\)
No i się zacinamy, bo to nie jest żaden ze znanych nam kątów. Tutaj nie da się zrobić nic lepszego jak tylko użyć funkcji cyklometrycznych \(\displaystyle{ \arcsin}\) bądź \(\displaystyle{ \arccos}\) żeby dostać:
\(\displaystyle{ \alpha = \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} = \arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}}\)
(I to wstawiamy, wybieramy jedną z opcji, albo zapis z arcusem cosinusem albo z arcusem sinusem).
\(\displaystyle{ 3+i=\sqrt{10}\left(\cos \left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right) + i \sin \left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right)\right)}\)