wytłumaczenie dowodu na moduł różnicy i różnicę modułów

[yaress]

Witajcie.
Mam taką prośbę. Czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi ostatni element dowodu takiego, że:
\(\displaystyle{ \left| \left| z_{1} \right|-\left| z_{2} \right| \right| \le \left| z_{1}- z_{2} \right|}\)

Korzystając z dwóch równości:
\(\displaystyle{ z_{2}+\left( z_{1}-z_{2} \right)=z_{1}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}+\left( z_{2}-z_{1} \right)=z_{2}}\)

Korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \left| z_{1} + z_{2} \right| \le \left| z_{1} \right|+\left| z_{2} \right|}\) dla pierwszej otrzymuję:
\(\displaystyle{ \left| z_{2} \right|+\left| z_{1} - z_{2} \right| \ge \left| z_{1} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z_{1}- z_{2} \right| \ge \left| z_{1} \right|-\left| z_{2} \right|}\)

a dla drugiej:
\(\displaystyle{ \left| z_{1} \right|+\left| z_{2}- z_{1} \right| \ge \left| z_{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| z_{2} - z_{1} \right| \ge \left| z_{2} \right|-\left| z_{1} \right|}\)

Dalej mam coś takiego:
\(\displaystyle{ -\left| z_{2}- z_{1} \right| \le \left| z_{1} \right|-\left| z_{2} \right| \le \left| z_{1}- z_{2} \right|}\)

W jaki sposób mam teraz dowieść twierdzenie?

[Premislav]

Dowieść twierdzeniu nie możesz, zły przypadek. Tam nie powinno być celownika, jest natomiast dopełniacz. Do rzeczy:
skoro pokazano/pokazałeś, że
\(\displaystyle{ -|z_2-z_1| \le |z_1|-|z_2| \le |z_1-z_2|}\),
to wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ |z_2-z_1|=|z_1-z_2|}\). Skoro zaś liczba \(\displaystyle{ |z_1|-|z_2|}\) jest większa od pewnej liczby i mniejsza od liczby do niej przeciwnej, to wartość bezwzględna
\(\displaystyle{ |z_1|-|z_2|}\) jest...

[yaress]

...także większy od pewnej liczby i mniejszy od liczby przeciwnej, tak?

[Premislav]

No niezupełnie. Może coś niezręcznie sformułowałem.

Mamy liczbę \(\displaystyle{ x}\)(tutaj to jest \(\displaystyle{ |z_1|-|z_2|}\)) oraz liczbę
\(\displaystyle{ y}\) (tutaj to jest \(\displaystyle{ |z_1-z_2|}\)). Wiemy, że
\(\displaystyle{ -y \le x \le y}\). Gdybyś to sobie narysował na osi liczbowej, to szybko byś zauważył, że wtedy
\(\displaystyle{ |x| \le |y|}\), bo po prostu \(\displaystyle{ x}\) jest nie dalej od zera niż \(\displaystyle{ y}\).-- 1 lis 2016, o 12:22 --Oczywiście \(\displaystyle{ ||z_1-z_2||=|z_1-z_2|}\).

[yaress]

to chyba już rozumiem. Podsumowując:
\(\displaystyle{ |z_2-z_1|=|z_1-z_2|}\)
Odległość miedzy dwoma punktami jest taka sama
Czyli
\(\displaystyle{ -|z_2-z_1| \le |z_1|-|z_2| \le |z_1-z_2|}\)
to jest to samo co:
\(\displaystyle{ -|z_1-z_2|\le |z_1|-|z_2| \le |z_1-z_2|}\)
i teraz biorąc moduł z tych liczb, formalnie, ("łopatologicznie" ) mam coś takiego:
\(\displaystyle{ |-|z_1-z_2||\le ||z_1|-|z_2|| \le ||z_1-z_2||}\)
a \(\displaystyle{ |-|z_1-z_2||=||z_1-z_2||=|z_1-z_2|}\)
czyli
\(\displaystyle{ ||z_1|-|z_2|| \le |z_1-z_2|}\) cnd

[Premislav]

Tak. Ale generalnie oczywiście nie jest prawdą, że jeśli
\(\displaystyle{ x \le y}\), to \(\displaystyle{ |x| \le |y|}\)(weźmy \(\displaystyle{ x=-10, y=1}\))
(piszę to raczej na użytek innych userów, którzy by ten temat przeglądali).

[yaress]

Oczywiście bo przecież operujemy tutaj na modułach.
Dziękuję za pomoc