Przedstaw następujące zbiory liczbowe na rysunku

michu110 · Post autor: **michu110** » 30 paź 2016, o 12:21

Przedstaw następujące zbiory liczbowe na rysunku:

1. \(\displaystyle{ \{z \in \CC\mid |z|>\Re(z)-2\}}\)
2. \(\displaystyle{ \{z \in \CC\mid |z|>\Im(z)+2\}}\)
3. \(\displaystyle{ \{z \in \CC\mid |z|>|z+1|\}}\)
4. \(\displaystyle{ \{z \in \CC\mid |z+\Re(z)|<\Im(z)-2\}}\)
5. \(\displaystyle{ \{z \in \CC\mid \Re(z) \cdot \Im(z) \ge |(z-1) \cdot \Im(z)|\}}\)

jak to zrobić?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 paź 2016, o 12:27

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)

I rozwiązujesz nierówności

michu110 · Post autor: **michu110** » 31 paź 2016, o 09:12

haha no tyle to wiem że \(\displaystyle{ z=x+iy}\)

proszę o pełne rozwiązanie chociaż jednego

pozdrawiam

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 31 paź 2016, o 09:44

No top zacznij rozwiązywać, gdzie jest problem?

michu110 · Post autor: **michu110** » 31 paź 2016, o 10:30

Dajmy na to że rozwiązuję przykład I:

\(\displaystyle{ \left| z\right| > \Re(z)-2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} }>x-2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}> (x-2)^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}> x^{2} -4\cdot x+4}\)
\(\displaystyle{ y^{2}> -4\cdot x+4}\)

nie wiem jak dalej to przekształcić
i jak mam to narysować na płaszczyźnie?

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 31 paź 2016, o 11:47

\(\displaystyle{ y^2>-4x+4\ \Rightarrow\ x>-\frac14 \cdot y^2+1}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac14\cdot y^2+1}\) to jest parabola o wierzchołku w \(\displaystyle{ (1,0)}\) i gałęziach w lewo
\(\displaystyle{ x>-\frac14 \cdot y^2+1}\) to obszar na zewnątrz tej paraboli

michu110 · Post autor: **michu110** » 31 paź 2016, o 12:43

Dziękuję bardzo
Mogłabyś obliczyć jeszcze ostatnie równanie bo mi tam wychodzi że dla \(\displaystyle{ x=0, y}\) nie ma rozwiązań. Czy to znaczy że w tym miejscu jest asymptota?

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 31 paź 2016, o 17:29

5.
mnie wychodzi \(\displaystyle{ y=0\ \ \vee\ \ x \ge \frac12 \cdot y^2+\frac12}\)

czyli cała oś 0X i wnętrze paraboli o wierzchołku w \(\displaystyle{ \left(\frac12,\,0\right)}\) i gałęziach w prawo wraz z tą parabolą

dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest \(\displaystyle{ y=0}\), bo dla \(\displaystyle{ y=0 \ \ x}\) jest dowolne

kerajs · Post autor: **kerajs** » 31 paź 2016, o 17:54

michu110 pisze:przykład I:

\(\displaystyle{ \left| z\right| > \Re(z)-2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} }>x-2}\)
a)
\(\displaystyle{ \magenta zal: \ x<2\\
\begin{cases} x<2 \\ y \in \RR \end{cases}}\)
b)
\(\displaystyle{ \magenta zal: \ x \ge 2\\}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}> (x-2)^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}> x^{2} -4\cdot x+4}\)
\(\displaystyle{ y^{2}> -4\cdot x+4}\)

kinia7 pisze:\(\displaystyle{ x=-\frac14\cdot y^2+1}\) to jest parabola o wierzchołku w \(\displaystyle{ (1,0)}\) i gałęziach w lewo \(\displaystyle{ x>-\frac14 \cdot y^2+1}\) to obszar na zewnątrz tej paraboli

czy dopisane założenia wpływają na sugerowany obszar ?

kinia7 pisze:5.
mnie wychodzi \(\displaystyle{ y=0\ \ \vee\ \ x \ge \frac12 \cdot y^2+\frac12}\)

czyli cała oś 0X i wnętrze paraboli o wierzchołku w \(\displaystyle{ \left(\frac12,\,0\right)}\) i gałęziach w prawo wraz z tą parabolą

dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest \(\displaystyle{ y=0}\), bo dla \(\displaystyle{ y=0 \ \ x}\) jest dowolne

A co z założeniem: \(\displaystyle{ xy \ge 0}\) ?

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 31 paź 2016, o 19:29

kerajs pisze:czy dopisane założenia wpływają na sugerowany obszar ?

I to bardzo
Właściwą odpowiedzią jest: tę nierówność spełnia cały obszar

kerajs pisze:A co z założeniem: \(\displaystyle{ xy \ge 0}\) ?

Ano, trzeba je uwzględnić
z podanego przeze mnie obszaru trzeba wygumkować część paraboli pod osią 0X

michu110 · Post autor: **michu110** » 31 paź 2016, o 23:36

nie za bardzo rozumiem skąd te założenia i po co :p xd

Jamoci333 · Post autor: **Jamoci333** » 1 lis 2016, o 14:26

A co z tym drugim przykładem? dla y<-2 łatwo policzyć, ale co z resztą?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 1 lis 2016, o 14:49

michu110 pisze:nie za bardzo rozumiem skąd te założenia i po co :p xd

Założenia robimy z lenistwa i pragmatyzmu : jeśli zrobimy potrzebne założenia to dostaniemy poprawne wyniki, to dostaniemy pozytywną ocenę, to zaoszczędzimy czas/siły/itd/itp związane z ponownym zaliczaniem tych zadań gdzie jeśli zrobimy potrzebne założenia to dostaniemy poprawne wyniki, to dostaniemy pozytywną ocenę, to.......... (wyjściem z pętli jest np. niezaliczenie przedmiotu)

michu110 pisze: \(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} }>x-2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}> (x-2)^{2}}\)

W równaniu :
\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+ y^{2} }>x-2}\)
lewa strona jest nieujemna. Dlatego mam dwa przypadki. W pierwszym prawa strona jest ujemna więc nierówność jest spełniona. W drugim , skoro prawa strona także jest nieujemna, mogę nierówność obustronnie podnieść do kwadratu.

W zadaniu 5 masz:
\(\displaystyle{ xy \ge \left| (x+iy-1)y\right|}\)
Jak widzisz prawa strona jest nieujemna więc lewa, niemniejsza od prawej, także musi być nieujemna. Stąd założenie \(\displaystyle{ xy \ge 0}\) które ogranicza rozwiązanie do I i III ćwiartki układu współrzędnych.

EDIT
2)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} >y+2}\)
a) zał \(\displaystyle{ y<-2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y<-2 \\ x \in \RR \end{cases}}\)
b) zał \(\displaystyle{ y \ge -2}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2>y^2+4y+4\\
y< \frac{x^2}{4}-1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y< \frac{x^2}{4}-1 \\ y \ge -2 \end{cases}}\)