Potęgowanie liczby zespolonej

[maki1234]

Witam, przerabiam właśnie zadania z potęgowania liczb zespolonej i mam pytanie odnośnie zamiany kątów.

\(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{10} \cdot \left( \cos \left( 10 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + i \cdot \sin \left( 10 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right)}\)

Pewnie pytanie będzie po części związane z trygonometrią. Jak się zamienia takie kąty przy sin i cos na "normalne". Słyszalem coś o parzystej wielokrotności, czy ktoś mógłby podpowiedzieć, gdzie szukać odpowiedzi, tzn. jak fachowo nazywa się takie zamienianie i jak to robić to sobie w google wpiszę.

[Igor V]

Okresowość - funkcje \(\displaystyle{ \sin(x),\cos(x)}\) są \(\displaystyle{ 2\pi}\) okresowe, czyli co \(\displaystyle{ 2\pi}\) wszystko się powtarza. Więc jak dodasz albo odejmiesz całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\) to nie zmieniasz wyniku :
\(\displaystyle{ \frac{10\pi}{4} = 1 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}}\)

Są jeszcze bardzo popularne przypadki z kofunkcjami, ale to zostawiam do wygooglowania.

[maki1234]

A co w przypadku nieparzystej liczby? Na przykład \(\displaystyle{ \cos \left( 5 \cdot \frac{\pi}{3} \right)}\)

[Igor V]

Nie bardzo widzę co miałoby być tam parzyste albo nie parzyste. To co pisałem tyczy się zarówno parzystych jak i nieparzystych wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\). Tego przykładu nie zrobisz wykorzystując okresowość, bo już jesteś w przedziale "podstawowym". Ale możesz skorzystać z zamiany w kofunkcje i tam się liczą parzyste/nieparzyste krotności \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

[kalwi]

\(\displaystyle{ \cos \left( 5 \cdot \frac{\pi}{3} \right)=\cos \left( 5 \cdot \frac{\pi}{3} -2\pi\right)=\cos \left( - \frac{\pi}{3} \right)=\cos \left( \frac{\pi}{3} \right)}\)