Pytanie odnośnie wzoru de Moivre'a.

[MatPiotr]

Witam. Mam pewien dylemat odnośnie prostego twierdzenia Moivre'a

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre%E2%80%99a

. (Link do wikipedii z tym twierdzeniem). Mianowicie, jak mam liczbę \(\displaystyle{ z = \sqrt{-2}}\), to inaczej mam liczbę \(\displaystyle{ z = \sqrt{2}i}\). Kiedy podniosę obustronnie do kwadratu otrzymam, że \(\displaystyle{ {z}^{2} = 2{i}^{2} \rightarrow {z}^{2}=-2}\). Czyli \(\displaystyle{ arg z = \pi}\). Podstawiając do wzoru wychodzi, że \(\displaystyle{ z = 4}\). Moje pytanie brzmi, gdzie popełniam błąd i czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć o co chodzi z pierwiastkami liczb zespolonych czym one są? Bo skoro mam teraz \(\displaystyle{ z = 4}\) To równie dobrze mogę napisać, że mam \(\displaystyle{ \sqrt{z} = 2}\). Czyli Podstawiając do wzoru mam: \(\displaystyle{ z = \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z = - \sqrt{2}}\). Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi wytłumaczył co tu się dzieje.

[Jan Kraszewski]

Mianowicie, jak mam liczbę \(\displaystyle{ z = \sqrt{-2}}\), to inaczej mam liczbę \(\displaystyle{ z = \sqrt{2}i}\). Kiedy podniosę obustronnie do kwadratu otrzymam, że \(\displaystyle{ {z}^{2} = 2{i}^{2} \rightarrow {z}^{2}=-2}\). Czyli \(\displaystyle{ arg z = \pi}\).

Skąd ten wniosek?

czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć o co chodzi z pierwiastkami liczb zespolonych czym one są? Bo skoro mam teraz \(\displaystyle{ z = 4}\) To równie dobrze mogę napisać, że mam \(\displaystyle{ \sqrt{z} = 2}\). Czyli Podstawiając do wzoru mam: \(\displaystyle{ z = \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z = - \sqrt{2}}\). Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi wytłumaczył co tu się dzieje.

Pierwiastek z liczby zespolonej nie jest wyznaczony jednoznacznie. Mówimy raczej o zbiorze pierwiastków z danej liczby zespolonej - ma on tyle elementów, ile wynosi stopień pierwiastka.

JK

[MatPiotr]

Zakładam, że mogę obustronnie potęgować w zbiorze liczb zespolonych. Czyli jak mam \(\displaystyle{ z = 2}\), to \(\displaystyle{ {z}^{2} = 4}\), wtedy jednym z pierwiastków będzie 2. A to, że \(\displaystyle{ \sqrt{-2} = \sqrt{2}i}\) wynika z tego, że\(\displaystyle{ \sqrt{-2} = \sqrt{2 \cdot (-1)} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{-1}}\), tak mi się wydaje przynajmniej. Co do argumentu to gdybym miał to narysować w układzie współrzędnych to leżałoby to na dodatniej części osi \(\displaystyle{ Im}\), a wtedy \(\displaystyle{ Re}\) wynosi 0. Czyli \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\). Jednak kiedy mam liczbę \(\displaystyle{ z=2{i}^{2}}\) to ponieważ \(\displaystyle{ {i}^{2}=-1}\) mogę więc zapisać, że \(\displaystyle{ 2{i}^{2}=-2}\). Wówczas \(\displaystyle{ argz= \pi}\), ponieważ część urojona liczby wynosi \(\displaystyle{ 0}\), a rzeczywista\(\displaystyle{ -2}\).

Pierwiastek z liczby zespolonej nie jest wyznaczony jednoznacznie. Mówimy raczej o zbiorze pierwiastków z danej liczby zespolonej - ma on tyle elementów, ile wynosi stopień pierwiastka.

JK

Właśnie to jeszcze rozumiem, jednak dlaczego nie ma on takich pierwiastków, które spełniają równość? Czyli jak w poprzednim poście napisałem \(\displaystyle{ z=4}\). To dla \(\displaystyle{ \sqrt{z} = 2}\) nie wychodzi \(\displaystyle{ 4}\).

[Cytryn]

Zapominasz o tym, że \(\displaystyle{ (-i)^2 = -1}\).

[MatPiotr]

Zapominasz o tym, że \(\displaystyle{ (-i)^2 = -1}\).

Mógłbyś to jakoś wyjaśnić? Rozumiem, że \(\displaystyle{ {(-i)}^{2}=-1}\), jednak jak ma mi to pomóc ?

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ \sqrt{-2} \neq \sqrt{2}i}\)
Zapominasz chyba o tym, że wcale nie zachodzi równość \(\displaystyle{ \sqrt{-1} = i}\). Widywałem nawet podręczniki, w których tak definiowana jest jednostka urojona
Powinno być: \(\displaystyle{ i \in \sqrt{-1}}\), bowiem \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) nie jest liczbą, a raczej pewnym zbiorem. Po prostu przyjęło się używać oznaczenia \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}}\) zarówno na pierwiastek arytmetyczny, jak i na pierwiastek algebraiczny, ale trzeba umieć te pojęcia rozróżnić.

[MatPiotr]

\(\displaystyle{ \sqrt{-2} \neq \sqrt{2}i}\)
Zapominasz chyba o tym, że wcale nie zachodzi równość \(\displaystyle{ \sqrt{-1} = i}\). Widywałem nawet podręczniki, w których tak definiowana jest jednostka urojona
Powinno być: \(\displaystyle{ i \in \sqrt{-1}}\), bowiem \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) nie jest liczbą, a raczej pewnym zbiorem. Po prostu przyjęło się używać oznaczenia \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}}\) zarówno na pierwiastek arytmetyczny, jak i na pierwiastek algebraiczny, ale trzeba umieć te pojęcia rozróżnić.

Chyba rozumiem o co ci chodzi. Jednak jak mam liczbę ujemną pod pierwiastkiem to chyba powinienem móc ją zapisać tak jak to robiłem w poprzednich postach. Jeżeli nie mogę, to jak inaczej zapisać pierwiastek z liczby ujemnej i jak wykonywać na nim operacje oraz jak mam go traktować, jako część rzeczywistą, czy urojoną? Chociaż zgodnie z tym co jest tutaj: ... by_urojone to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{-2} = \sqrt{2}i}\).

[NogaWeza]

Rozumiem, że postawiłeś przed sobą znalezienia liczby \(\displaystyle{ z = \sqrt{-2}}\), równoważnie \(\displaystyle{ z^2 = -2}\). Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ (\sqrt{2} i )^2 = 2 \cdot i^2 = -2}\), ale również \(\displaystyle{ (- \sqrt{2} i)^2 = (-1)^2 \cdot 2 \cdot i^2 = 1 \cdot 2 \cdot -1 = -2}\). Ostatecznie otrzymaliśmy zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ \left\{ \sqrt{2}i , - \sqrt{2}i \right\}}\).

Dla pierwiastka \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia zbiór rozwiązań zawsze będzie \(\displaystyle{ n}\)-elementowy.

[MatPiotr]

Tutaj wszystko się zgadza, jednak kiedy mam \(\displaystyle{ \sqrt{z}=2}\), to moduł \(\displaystyle{ z}\) wynosi \(\displaystyle{ 4}\). Podstawiając do wzoru mam \(\displaystyle{ \sqrt{4}(1+0) = 2}\) i tutaj już mam pytanie dlaczego \(\displaystyle{ 2}\), skoro \(\displaystyle{ \sqrt{2} \neq 2}\).

[Kacperdev]

W jaki sposób zastosowałeś tu wzót?
Tu będzie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ z=4}\)
Zastosować wzór można, ale to
\(\displaystyle{ z=\left| z\right| \left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=\sqrt{\left| z\right|} \left( \cos \frac{\alpha+2k\pi}{2} + i \sin \frac{\alpha+2k\pi}{2} \right) = 2=2\left( \cos 0+i\sin 0\right)}\)

a stąd: moduł liczby \(\displaystyle{ z}\) wynosi \(\displaystyle{ 4}\), kąt \(\displaystyle{ 0}\),

Ale istotniejsze jest, że nie mamy tu \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia pierwiastek z konkretnej liczby, tylko szukamy z jakiej liczby zespolonej pierwiatek jest równy \(\displaystyle{ 2}\).

[MatPiotr]

Ok. Już rozumiem. W tym wzorze jak coś wyliczę to wyliczam \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\), a nie \(\displaystyle{ z}\). Dzięki wszystkim za pomoc

Jednak mam jeszcze pytanie, bo przecież twierdzenie mówi:

... Wówczas dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\), istnieje \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\).

Czyli powinny być dwa rozwiązania, bo rozwiązuje \(\displaystyle{ \sqrt{z}=2}\). Problem w tym, że dla \(\displaystyle{ k=1}\), wyjdzie mi \(\displaystyle{ \sqrt{z}=-2}\).

Nie rozumiem, dlaczego nie mamy tutaj \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia pierwiastka z konkretnej liczby? Jak w takim razie wygląda ta konkretna liczba, abym mógł zastosować ten wzór ?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \sqrt{-2}}\) ma dwa rozwiązania, bo szukamy \(\displaystyle{ z}\) tż. \(\displaystyle{ z=\sqrt{-2}}\) równoważnie: \(\displaystyle{ z^2+2=0}\)

ale rozwiązając \(\displaystyle{ \sqrt{z}=2}\) prawą stronę równości mamy niejako narzucone.
Podnosząc stronami do kwadratu otrzymujemy \(\displaystyle{ z=4}\). Nie mamy poszukac \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\) (konkretnego z - który rzeczywiście będzie mieć dwa rozwiązania, a gdy bylo n-tego stopnia to en rozwiazań) ale my wiemy, że ten pierwiastek z \(\displaystyle{ z}\) ma się równać \(\displaystyle{ 2}\)

[MatPiotr]

Ok, już wszystko rozumiem Wielkie dzięki za pomoc

[fosil]

\(\displaystyle{ \sqrt{-2} \neq \sqrt{2}i}\)
Zapominasz chyba o tym, że wcale nie zachodzi równość \(\displaystyle{ \sqrt{-1} = i}\). Widywałem nawet podręczniki, w których tak definiowana jest jednostka urojona
Powinno być: \(\displaystyle{ i \in \sqrt{-1}}\), bowiem \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) nie jest liczbą, a raczej pewnym zbiorem. Po prostu przyjęło się używać oznaczenia \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}}\) zarówno na pierwiastek arytmetyczny, jak i na pierwiastek algebraiczny, ale trzeba umieć te pojęcia rozróżnić.

Długo się nad tym zastanawiałem i (chyba) mam już odpowiedź. Czyli: za każdym razem, gdy szukamy pierwiastków dla liczby spoza przedziału półprostej nieujemnej dla prostej rzeczywistej, możemy mówić tylko o pierwiastku algebraicznym i nie można podać pierwiastka arytmetycznego?

[Jan Kraszewski]

Długo się nad tym zastanawiałem i (chyba) mam już odpowiedź. Czyli: za każdym razem, gdy szukamy pierwiastków dla liczby spoza przedziału półprostej nieujemnej dla prostej rzeczywistej, możemy mówić tylko o pierwiastku algebraicznym i nie można podać pierwiastka arytmetycznego?

Trochę mieszasz byty. Pojęcie pierwiastka arytmetycznego dotyczy liczb rzeczywistych nieujemnych, a nie liczb zespolonych.

No i co to jest "liczba spoza przedziału półprostej nieujemnej dla prostej rzeczywistej"?

JK