Potęga zespolona liczby zespolonej.

[Ktoscoscos]

\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{\left( 1+i \right) } = \sqrt{2}^{1+i} e^{i \pi \left( \frac{1}{4} +2k \right) } e^{- \pi \left( \frac{1}{4} +2k \right) }}\)
Teraz żeby przejść do postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) mam z \(\displaystyle{ e}\) przejść na \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\)?
Możecie sprawdzić czy dobrze to jest policzone?



Mogę przyjąć, że:
\(\displaystyle{ e^{i \pi \left( \frac{1}{4} +2k \right) }= 1^{\left( \frac{1}{4} +2k \right)}=1}\)?
oraz, że:
\(\displaystyle{ e^{- \pi \left( \frac{1}{4} +2k \right) }= {e ^{i \pi}} ^{i\left( \frac{1}{4} +2k \right)}=1}\)?
Wtedy:
\(\displaystyle{ \left( 1+i \right) ^{\left( 1+i \right) } = \sqrt{2}^{1+i}}\)

[Premislav]

Wyrażenie \(\displaystyle{ (1+i)^{1+i}}\) nie ma jednoznacznej wartości - wszystko zależy od tego, jak sobie obierzemy część płaszczyzny zespolonej, na której określimy funkcję \(\displaystyle{ \log_{\alpha}z}\)
(funkcja \(\displaystyle{ f(z)=\log_{\alpha}z:=\ln|z|+i\arg_{\alpha}z}\), gdzie \(\displaystyle{ arg_{alpha}z in [alpha, alpha+2pi)}\), określona jest na płaszczyźnie zespolonej bez półprostej o końcu w \(\displaystyle{ (0,0)=0+0i}\), będącej "połową" prostej tworzącej z osią \(\displaystyle{ \Re z}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), liczony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
Jeżeli np. weźmiemy \(\displaystyle{ \log_{0}z}\), to
\(\displaystyle{ (1+i)^{1+i}=\exp((1+i)\log_0(1+i))=\exp\left\{(1+i)(\ln|1+i|+i\arg_0(1+i)) \right\}=\exp \left((1+i)\left(\ln \sqrt{2}+i\frac \pi 4\right)\right)=\dots}\)