Korzystając z definicji obliczyć

[bambinko]

Korzystając z definicji obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)

[yorgin]

Wykorzystaj więc definicję. Na przykład masz ją tutaj: 2524.htm

Wyznacz odpowiednie wartości i podstaw.

Warto zacząć również od postaci trygonometrycznej tejże liczby.

[bambinko]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=a + bi \Leftrightarrow z=(a+bi)^n}\)

stąd:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i} = a + bi \Leftrightarrow i(a+bi)^3}\)
\(\displaystyle{ i= a^3 + 3a^2bi -3ab^2 - b^3i}\)

co dalej?

[yorgin]

Takie podejście to strzał w stopę. W ogólnym przypadku.

Skorzystaj z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i zastosuj wzorek, który jest na stronie, do której link podałem wcześniej.

Jeżeli jednak nie chcesz postaci trygonometrycznej, to alternatywą jest rozwiązanie układu równań przez porównanie części rzeczywistej i urojonej równości

\(\displaystyle{ i= a^3 + 3a^2bi -3ab^2 - b^3i}\).

[bambinko]

\(\displaystyle{ a^3-3ab^2=0}\)
\(\displaystyle{ 3a^2b -b^3=1}\)
?

[Kacperdev]

Postać trygonometryczna to udogodnienie z którego należy tu skorzystać:

\(\displaystyle{ i=\cos\left( \frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left( \frac{\pi}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}=\cos\left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ k\in \left\{ 0,1,2\right\}}\)

[a4karo]

Postać trygonometryczna to udogodnienie z którego należy tu skorzystać:

\(\displaystyle{ i=\cos\left( \frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left( \frac{\pi}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}=\cos\left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left( \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ k\in \left\{ 0,1,2\right\}}\)

Dwója z czytania: oblicz Z DEFINICJI


Z pierwszego równania dostaniesz \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ a^2-3b^2=0}\). Wstawienie każdej z tych rzeczy do drugiego równania da poszukiwane trzy rozwiązania