znajdź wartości wyrażeń

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Gotek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 11 paź 2016, o 07:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

znajdź wartości wyrażeń

Post autor: Gotek »

znajdź wszystkie wartości wyrażeń (p.algebraiczna):
\(\displaystyle{ 1.ln2}\)
\(\displaystyle{ 2.ln(1+i)}\)
\(\displaystyle{ 3.\arc\cos2}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

znajdź wartości wyrażeń

Post autor: Janusz Tracz »

2)
\(\displaystyle{ \ln (1+i)=\ln |1+i|e^{i (\frac{ \pi }{4}+2k \pi) }=i( \frac{ \pi }{4}+2k \pi )+\ln \sqrt{2}}\)

3)

\(\displaystyle{ \arccos 2=z}\)

\(\displaystyle{ \cos z=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=2}\)

podstawienie \(\displaystyle{ e^{iz}=t}\)

\(\displaystyle{ \frac{t+ \frac{1}{t} }{2}=2}\)

\(\displaystyle{ t^2-4t+1=0}\)
Gotek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 11 paź 2016, o 07:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

znajdź wartości wyrażeń

Post autor: Gotek »

Czy mógłbyś wytłumaczyć ostatni zapis?

i pokazać jak obliczyć \(\displaystyle{ (1+i) ^{2-i}}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

znajdź wartości wyrażeń

Post autor: Janusz Tracz »

ostatni zapis to zwykłe równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) trzeba je rozwiązać i wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z}\)

\(\displaystyle{ (1+i)^{2-i}=(1+i)^2\cdot(1+i)^{-i}=}\)

problematyczne jest tylko :

\(\displaystyle{ (1+i)^{-i}=e^{-i\ln (1+i)}}\)

a z poprzedniego przykłady wiemy że \(\displaystyle{ \ln(1+i)=i( \frac{ \pi }{4}+2k \pi )+\ln \sqrt{2}}\)
podstawiając dostaniemy

\(\displaystyle{ (1+i)^{-i}=e^{-i \ln \sqrt{2} + \frac{ \pi }{4}+2k \pi }}\)

i zostało już tylko podstawić
ODPOWIEDZ