wszystkie wartości argumentu funkcji sinus

[Gotek]

znajdź wszystkie wartości dla \(\displaystyle{ \sin z=2}\)

[kerajs]

Może tak:
\(\displaystyle{ \sin(z) =\sin(x+yi) = \sin x \cos(yi) + \sin(yi) \cos x=\sin x \cosh y + i\sinh y \cos x=2\\
\begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \sinh y \cos x=0 \end{cases} \\
\begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \sinh y =0 \end{cases} \vee \begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \cos x=0 \end{cases}\\
\begin{cases} \sin x =2\\ y =0 \end{cases} \vee \begin{cases} \cosh y=2\\ \sin x=1 \\ \cos x=0 \end{cases}\vee \begin{cases} - \cosh y=2\\ \sin x=-1 \\ \cos x=0 \end{cases}\\}\)
Tylko drugi układ nie jest sprzeczny więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= \arcosh 2 \vee y=- \arcosh 2\\ x= \frac{ \pi }{2} +k2 \pi \end{cases}}\)

[Janusz Tracz]

Inny sposób :

\(\displaystyle{ \sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)

po podstawieniu za \(\displaystyle{ e^{iz}=t}\) i przyrównaniu dostajemy równanie.

\(\displaystyle{ \frac{t- \frac{1}{t} }{2i}=2}\)

\(\displaystyle{ t^2-4it-1=0}\)

wyznaczamy \(\displaystyle{ t}\) i wracamy do zmiennej \(\displaystyle{ z}\)