wszystkie wartości argumentu funkcji sinus
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 11 paź 2016, o 07:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
wszystkie wartości argumentu funkcji sinus
znajdź wszystkie wartości dla \(\displaystyle{ \sin z=2}\)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2016, o 21:57 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
wszystkie wartości argumentu funkcji sinus
Może tak:
\(\displaystyle{ \sin(z) =\sin(x+yi) = \sin x \cos(yi) + \sin(yi) \cos x=\sin x \cosh y + i\sinh y \cos x=2\\
\begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \sinh y \cos x=0 \end{cases} \\
\begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \sinh y =0 \end{cases} \vee \begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \cos x=0 \end{cases}\\
\begin{cases} \sin x =2\\ y =0 \end{cases} \vee \begin{cases} \cosh y=2\\ \sin x=1 \\ \cos x=0 \end{cases}\vee \begin{cases} - \cosh y=2\\ \sin x=-1 \\ \cos x=0 \end{cases}\\}\)
Tylko drugi układ nie jest sprzeczny więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= \arcosh 2 \vee y=- \arcosh 2\\ x= \frac{ \pi }{2} +k2 \pi \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sin(z) =\sin(x+yi) = \sin x \cos(yi) + \sin(yi) \cos x=\sin x \cosh y + i\sinh y \cos x=2\\
\begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \sinh y \cos x=0 \end{cases} \\
\begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \sinh y =0 \end{cases} \vee \begin{cases} \sin x \cosh y=2\\ \cos x=0 \end{cases}\\
\begin{cases} \sin x =2\\ y =0 \end{cases} \vee \begin{cases} \cosh y=2\\ \sin x=1 \\ \cos x=0 \end{cases}\vee \begin{cases} - \cosh y=2\\ \sin x=-1 \\ \cos x=0 \end{cases}\\}\)
Tylko drugi układ nie jest sprzeczny więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= \arcosh 2 \vee y=- \arcosh 2\\ x= \frac{ \pi }{2} +k2 \pi \end{cases}}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
wszystkie wartości argumentu funkcji sinus
Inny sposób :
\(\displaystyle{ \sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
po podstawieniu za \(\displaystyle{ e^{iz}=t}\) i przyrównaniu dostajemy równanie.
\(\displaystyle{ \frac{t- \frac{1}{t} }{2i}=2}\)
\(\displaystyle{ t^2-4it-1=0}\)
wyznaczamy \(\displaystyle{ t}\) i wracamy do zmiennej \(\displaystyle{ z}\)
\(\displaystyle{ \sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)
po podstawieniu za \(\displaystyle{ e^{iz}=t}\) i przyrównaniu dostajemy równanie.
\(\displaystyle{ \frac{t- \frac{1}{t} }{2i}=2}\)
\(\displaystyle{ t^2-4it-1=0}\)
wyznaczamy \(\displaystyle{ t}\) i wracamy do zmiennej \(\displaystyle{ z}\)