Podać miejsca geometryczne punktów na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ 1. |z+i|-|z-i|= \sqrt{2}}\)
czy \(\displaystyle{ |z+i|}\) mogę rozumieć jako punkt \(\displaystyle{ (0,-1)}\)?
\(\displaystyle{ 2. 0<Arg( \frac{z+i}{z-i} -1)< \frac{ \pi }{4}}\)
jak mam się za to zabrać???
Miejsca geometryczne punktów
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Miejsca geometryczne punktów
\(\displaystyle{ 1. |z+i|-|z-i|= \sqrt{2}}\)
To o ogniskach w \(\displaystyle{ z_1=-i \ , \ z_2=i}\) (a ściślej jej górna gałąź)
Rozwiązanie analityczne:
\(\displaystyle{ \left| x+iy+i\right|-\left| x+iy-i\right|= \sqrt{2}\\
\sqrt{x^2+(y+1)^2}= \sqrt{2}+ \sqrt{x^2+(y-1)^2} \\
x^2+(y+1)^2=2+2 \sqrt{2} \sqrt{x^2+(y-1)^2} +x^2+(y-1)^2 \\
4y-2=2 \sqrt{2} \sqrt{x^2+(y-1)^2}\\
2y-1= \sqrt{2} \sqrt{x^2+(y-1)^2} \wedge y \ge \frac{1}{2}\\
4y^2-4y+1=2x^2+2y^2-4y+2\\
-2x^2+2y^2=1\\
- \left( \frac{x}{ \frac{1}{ \sqrt{2} } }\right)^2 +\left(\frac{y}{ \frac{1}{ \sqrt{2} } }\right)^2=1 \wedge y \ge \frac{1}{2}}\)
To
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Hiperbola_%28matematyka%29Rozwiązanie analityczne:
\(\displaystyle{ \left| x+iy+i\right|-\left| x+iy-i\right|= \sqrt{2}\\
\sqrt{x^2+(y+1)^2}= \sqrt{2}+ \sqrt{x^2+(y-1)^2} \\
x^2+(y+1)^2=2+2 \sqrt{2} \sqrt{x^2+(y-1)^2} +x^2+(y-1)^2 \\
4y-2=2 \sqrt{2} \sqrt{x^2+(y-1)^2}\\
2y-1= \sqrt{2} \sqrt{x^2+(y-1)^2} \wedge y \ge \frac{1}{2}\\
4y^2-4y+1=2x^2+2y^2-4y+2\\
-2x^2+2y^2=1\\
- \left( \frac{x}{ \frac{1}{ \sqrt{2} } }\right)^2 +\left(\frac{y}{ \frac{1}{ \sqrt{2} } }\right)^2=1 \wedge y \ge \frac{1}{2}}\)