Zbadaj zbieżność i bezwzględną zbieżność szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac {1 + i} {n^{2} + in}}\).
Z góry dzięki.
Zbieżność szeregu zespolonego
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Zbieżność szeregu zespolonego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac {1 + i} {n^{2} + in} \frac{n^{2} +-in} {n^{2} +-in}=\sum_{n=1}^{ } \frac {1 + i} {n^{2} + in} = \sum_{n=1}^{ } \frac {n+1} {n^{3} + n}+i\sum_{n=1}^{ } \frac {n+1} {n^{3} + n}}\)
szereg jest zbiezny gdy oba są zbieżne
\(\displaystyle{ \frac{n+1} {n^{3} + n} qslant \frac{n+n} {n^{3} }=\frac{2} {n^{2}}}\) zbiezny
\(\displaystyle{ \frac{n-1} {n^{3} + n} qslant \frac{n} {n^{3} }=\frac{1} {n^{2}}}\) zbiezny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }| \frac {1 + i} {n^{2} + in}|=\sum_{n=1}^{ } \frac {|1 + i|} {|n^{2} + in|}=\sum_{n=1}^{ } \frac {\sqrt {2}} {n^{2} \sqrt{n^2+1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2} \sqrt{n^2+1}} qslant \frac{1}{n^{2} n}=\frac{1}{n^3}}\) zbiezny
wiec szereg jest jednostajnie zbiezny
szereg jest zbiezny gdy oba są zbieżne
\(\displaystyle{ \frac{n+1} {n^{3} + n} qslant \frac{n+n} {n^{3} }=\frac{2} {n^{2}}}\) zbiezny
\(\displaystyle{ \frac{n-1} {n^{3} + n} qslant \frac{n} {n^{3} }=\frac{1} {n^{2}}}\) zbiezny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ }| \frac {1 + i} {n^{2} + in}|=\sum_{n=1}^{ } \frac {|1 + i|} {|n^{2} + in|}=\sum_{n=1}^{ } \frac {\sqrt {2}} {n^{2} \sqrt{n^2+1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2} \sqrt{n^2+1}} qslant \frac{1}{n^{2} n}=\frac{1}{n^3}}\) zbiezny
wiec szereg jest jednostajnie zbiezny