Stosowanie wzoru na sumę postępu geometrycznego

[Gotek]

Stosując wzór na sumę postępu geometrycznego, podaj część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z = \sum_{j,k,l=0}^{7} (1+i)^j^+^k^+^l}\)

jak w prosty sposób to obliczyć bez rozpisywania wzoru??

[kerajs]

Może tak:

\(\displaystyle{ z = \sum_{j,k,l=0}^{7} (1+i)^{j+k+l}= \sum_{j,k,i=0}^{7}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{j+k+l} =\sum_{j,k,l=0}^{7}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{j}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{k}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{l} =\\
=\left( \sum_{j=0}^{7}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{j}\right) \left( \sum_{k=0}^{7}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{k}\right) \left( \sum_{l=0}^{7}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{}\right)=\left( \sum_{j=0}^{7}( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{j}\right)^3=\\
=\left( \frac{1(1- 16e ^{i \frac{8\pi}{4} })}{1- \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} }} \right)^3=\left( \frac{1(1-16)}{1-(1+i)} \right)^3=15^3i}\)

[Gotek]

Czemu w tym wyrażeniu podnosisz do 8 potęgi:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} } ) ^{8}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1(1- 16e ^{i \frac{8\pi}{4} })}{1- \sqrt{2}e ^{i \frac{\pi}{4} }} \right)^3}\)

[kerajs]

Wykorzystałem narzucony treścią zadania: „Stosując wzór na sumę postępu geometrycznego” sposób sumowania.
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{7}( \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4} } )^j= \left( \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4} }\right) ^0+ \left( \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4} }\right) ^1+...+\left( \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4} }\right) ^7}\)
Mam tu sumę 8 wyrazów ciągu geometrycznego o \(\displaystyle{ a_1=\left( \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4} }\right) ^0= \sqrt{2}^0e ^{i (0 \cdot \frac{ \pi }{4} )}=1e^{i0}=1 \cdot 1=1}\) i \(\displaystyle{ q= \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4} }}\) .
Stąd:
\(\displaystyle{ S_8= \frac{a_1(1-q^8)}{1-q}=...}\)