Równanie w zbiorze liczb zespolonych

[blazej30]

Mam do rozwiązania takie równanie:

\(\displaystyle{ \overline{z}^2 \cdot z^6=256}\)

Udało mi się je przekształcić do takiej postaci:

\(\displaystyle{ |z|^4 \cdot z^4 = 2^8}\)

idąc za ciosem można byłoby to jeszcze sprowadzić do:

\(\displaystyle{ |z| \cdot z=4}\)

tylko nie wiem czy to nadal będzie równoważne. Pytanie co zrobić dalej - zamieniając \(\displaystyle{ z = a+bi}\) do niczego mnie to nie doprowadziło:

\(\displaystyle{ a^4-b^4+i(2a^3b+2ab^3) = 256}\).

Co dalej mogę z tym zrobić?

[Premislav]

Udało mi się je przekształcić do takiej postaci:
\(\displaystyle{ |z|^4*z^4 = 2^8}\)

idąc za ciosem można byłoby to jeszcze sprowadzić do:

\(\displaystyle{ |z|*z=4}\)

To nie jest prawda. W liczbach zespolonych pierwiastkowanie jest operacją wielowartościową, więc
powinno z tego wyjść:
\(\displaystyle{ |z| \cdot z=4\left( \cos \frac{2k\pi}{4}+i\sin \frac{2k\pi}{4} \right),\\k\in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\)

-- 16 paź 2016, o 14:01 --

Dalej zapisujesz \(\displaystyle{ z=|z|(\cos \theta+i\sin \theta)}\),
porównujesz argumenty kątowe (uwaga na okresowość) i moduły obu stron.

[blazej30]

Tak właśnie myślałem że to byłoby zbyt łatwe. Jak więc pójść dalej?

[Premislav]

No przecież Ci napisałem, co masz zrobić.
Wychodzi na to, że \(\displaystyle{ |z|^2=4}\)
oraz \(\displaystyle{ \theta=2k \pi \vee \theta= \frac{\pi}{2}+2k\pi \vee \theta=\pi+2k\pi \vee \theta= \frac{3}{2}\pi +2k\pi}\), [\(\displaystyle{ heta}\) to argument kątowy z]
czyli
\(\displaystyle{ z=....}\)

[blazej30]

Przepraszam, pisząc odpowiedź nie zauważyłem edycji Twojego posta.
Czyli odpowiedź to: \(\displaystyle{ z=2 \vee z=-2 \vee z=2i \vee z=-2i}\) - już rozumiem.
Mógłbyś jeszcze wyjaśnić jak zrobiłeś ten pierwszy krok?

\(\displaystyle{ |z| \cdot z=4\left( \cos \frac{2k\pi}{4}+i\sin \frac{2k\pi}{4} \right),\\k\in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\)

Bo rozumiem że prawa strona to pierwiastek zespolony 4-tego stopnia z 256?

[Kartezjusz]

Tak

[blazej30]

Już wszystko rozumiem - wystarczyło zastosować wzór na pierwiastek. Wielkie dzięki! Naprawdę, wasza pomoc jest bardzo, bardzo cenna. Miłego dnia!