rownanie z=x+iy

[bambinko]

rozwiaz rownanie przyjmujac, ze \(\displaystyle{ z=x+iy}\)

\(\displaystyle{ \frac{z_ \text{sprzężone}}{z} = \frac{9-2i}{3+yi}}\)

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \frac{x-iy}{x+iy}=\frac{9-2i}{3+iy} \\ D:\ x+iy\ne0\ \ \ i \ \ \ 3+iy\ne0\\ (x-iy)(3+iy)=(x+iy)(9-2i) \\ 3x+xyi-3yi-y^2i^2=9x-2xi+9yi-2yi^2\\ 3x+xyi-3yi+y^2=9x-2xi+9yi+2y\\ \blue 3x+y^2 \black+(\red xy-3y \black )i=\blue 9x+2y \black +(\red 9y-2x \black )i \\ \begin{cases} 3x+y^2=9x+2y \\ xy-3y=9y-2x \end{cases} \\ \begin{cases} 3x-9x=2y-y^2 \\ xy+2x=9y+3y \end{cases} \\ \begin{cases} -6x=2y-y^2 \ \ |\cdot(-\frac16) \\ x(y+2)=12y \end{cases} \\ \begin{cases} x=\frac{y^2-2y}6 \\ x=\frac{12y}{y+2} \end{cases} \\ \frac{y^2-2y}6=\frac{12y}{y+2} \\ (y^2-2y)(y+2)=6\cdot12y \\ y^3+2y^2-2y^2-4y=72y\\ y^3-76y=0\\ y(y^2-76)=0\\ y=0 \ \ \lub\ \ \ y^2-76=0\\ \Delta=0^2-4\cdot1\cdot(-76)=0+304=304=16\cdot19\ \to \ \sqrt\Delta=4\sqrt{19} \\ y_1=\frac{0-4\sqrt{19}}2=-2\sqrt{19} \ \ \ y_2=\frac{0+4\sqrt{19}}2=2\sqrt{19} \\ x=\frac{y^2-2y}6\\ x_1=\frac{(-2\sqrt{19})^2-2\cdot(-2\sqrt{19})}6=\frac{4\cdot19+4\sqrt{19}}6=\frac{2(38+2\sqrt{19})}6=\frac{38+2\sqrt{19}}3 \\ x_2=\frac{(2\sqrt{19})^2-2\cdot2\sqrt{19}}6=\frac{4\cdot19-4\sqrt{19}}6=\frac{2(38-2\sqrt{19})}6=\frac{38-2\sqrt{19}}3 \\ y_3=0 \ \to \ x_3=\frac{0^2-2\cdot0}6=0 \\ \\ \\ Rozw.\\ \\ \begin{cases} x=\frac{38+2\sqrt{19}}3 \\ y=-2\sqrt{19} \end{cases} \ \ \ \ lub\ \ \ \ \begin{cases} x=\frac{38-2\sqrt{19}}3 \\ y=2\sqrt{19} \end{cases}}\)

Para liczb \(\displaystyle{ x=0, \ y=0}\) nie może być rozwiązaniem równania, bo wtedy w mianowniku (wyjściowego równania) będziemy mieli dzielenie przez zero

[bambinko]

dziękuję!

-- 16 paź 2016, o 14:16 --

a mam pytanie: co sie dzieje z y=0? dlaczego je odrzucamy? z jakiego zalozenia?

[loitzl9006]

Jeśli będzie \(\displaystyle{ y=0}\), to będzie też \(\displaystyle{ x=0}\) (patrz końcówka mojego wcześniejszego posta)
Wtedy \(\displaystyle{ z=0+0i}\) czyli będzie \(\displaystyle{ z=0}\) - dzielenie przez zero (patrz Twój pierwszy post)