Cześć Mam do policzenia \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-1+i}}\)
\(\displaystyle{ Z_0}\) naturalnie policzyłam i wymnożyłam, problem mam natomiast z \(\displaystyle{ Z_1}\) oraz \(\displaystyle{ Z_2}\).
Doszłam do momentu w \(\displaystyle{ Z _{1}}\) --> \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{11 \pi }{12} + i\sin \frac{11 \pi }{12} \right)}\) i analogicznie w \(\displaystyle{ Z _{2}}\) --> \(\displaystyle{ \sqrt[6]{2} \left( \cos \frac{19 \pi }{12} + i\sin \frac{19 \pi }{12} \right)}\).
I tu utknęłam :p nie mam pojęcia jak to dalej wymnożyć, żeby to skończyć. Tu jest więc moja prośba- czy jakaś dobra duszyczka mogłaby mnie naprowadzić na jakieś rozwiązanie, podsunąć jakiś pomysł?
Będę niesamowicie wdzięczna!
Pierwiastki z liczby zespolonej- jak dokończyć?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Pierwiastki z liczby zespolonej- jak dokończyć?
Z tym raczej nic szczególnego nie zrobisz, chyba że znając jakieś szatańskie trygonometryczne chwyty, których nie pamiętam. Mam dwie inne propozycje:
1. Jeżeli \(\displaystyle{ w_1, \dots w_{n}}\) są parami różnymi pierwiastkami zespolonymi stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\),
to rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ z^n=r^n}\)
są \(\displaystyle{ z_i=r \cdot w_i, i=1, \dots n}\). Dowód: z zasadniczego tw. algebry mamy, że wielomian \(\displaystyle{ W(z)=z^n-r^n}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków (licząc z krotnościami) o ile \(\displaystyle{ n \neq 0}\), zaś korzystając z tego, że \(\displaystyle{ r^n=z^n}\) oraz z definicji pierwiastków n-tego stopnia z 1 (tj. podniesione do potęgi \(\displaystyle{ n}\) dają \(\displaystyle{ 1}\)) i z tego, że dla dowolnych w, z zespolonych mamy \(\displaystyle{ (wz)^n=w^n z^n}\), natychmiast dostajemy tezę.
W tym przypadku łatwo się przekonać (np. ze wzoru de Moivre'a), że
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i))^3=-1+i}\), więc szukane pierwiastki to
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i), \\ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i)\cdot\left( \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right), \\ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i)\cdot \left( \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3} \right)}\)
-a te badziewia dość łatwo wyliczyć, żeby przejść do postaci algebraicznej.
2. Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\).
Skoro \(\displaystyle{ z^3=-1+i}\), to \(\displaystyle{ x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3=-1+i}\),
porównaj części rzeczywiste i urojone, a otrzymasz układ równań, wprawdzie nieliniowych, ale nie bardzo trudny (np. drugie równanie można zastąpić sumą pierwotnego pierwszego i drugiego, a potem wyciągnąć przed nawias \(\displaystyle{ x-y}\), a w drugim nawiasie zwinąć do postaci kanonicznej albo nawalać deltę, żeby wyliczyć jedną zmienną w zależności od drugiej).
-- 15 paź 2016, o 23:55 --
Co do "szatańskich chwytów": można użyć wzorów na cosinus sumy i sinus sumy, ale to straszna siłownia:
\(\displaystyle{ \frac{11\pi}{12}= \frac{2}{3}\pi+ \frac{\pi}{4}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{19\pi}{12}= \frac{4}{3} \pi+ \frac{\pi}{4}}\)
i tak dalej.
1. Jeżeli \(\displaystyle{ w_1, \dots w_{n}}\) są parami różnymi pierwiastkami zespolonymi stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\),
to rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ z^n=r^n}\)
są \(\displaystyle{ z_i=r \cdot w_i, i=1, \dots n}\). Dowód: z zasadniczego tw. algebry mamy, że wielomian \(\displaystyle{ W(z)=z^n-r^n}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków (licząc z krotnościami) o ile \(\displaystyle{ n \neq 0}\), zaś korzystając z tego, że \(\displaystyle{ r^n=z^n}\) oraz z definicji pierwiastków n-tego stopnia z 1 (tj. podniesione do potęgi \(\displaystyle{ n}\) dają \(\displaystyle{ 1}\)) i z tego, że dla dowolnych w, z zespolonych mamy \(\displaystyle{ (wz)^n=w^n z^n}\), natychmiast dostajemy tezę.
W tym przypadku łatwo się przekonać (np. ze wzoru de Moivre'a), że
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i))^3=-1+i}\), więc szukane pierwiastki to
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i), \\ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i)\cdot\left( \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right), \\ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (1+i)\cdot \left( \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3} \right)}\)
-a te badziewia dość łatwo wyliczyć, żeby przejść do postaci algebraicznej.
2. Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\).
Skoro \(\displaystyle{ z^3=-1+i}\), to \(\displaystyle{ x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3=-1+i}\),
porównaj części rzeczywiste i urojone, a otrzymasz układ równań, wprawdzie nieliniowych, ale nie bardzo trudny (np. drugie równanie można zastąpić sumą pierwotnego pierwszego i drugiego, a potem wyciągnąć przed nawias \(\displaystyle{ x-y}\), a w drugim nawiasie zwinąć do postaci kanonicznej albo nawalać deltę, żeby wyliczyć jedną zmienną w zależności od drugiej).
-- 15 paź 2016, o 23:55 --
Co do "szatańskich chwytów": można użyć wzorów na cosinus sumy i sinus sumy, ale to straszna siłownia:
\(\displaystyle{ \frac{11\pi}{12}= \frac{2}{3}\pi+ \frac{\pi}{4}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{19\pi}{12}= \frac{4}{3} \pi+ \frac{\pi}{4}}\)
i tak dalej.