Oto treść: Znajdź wszystkie liczby \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z} \in \mathbb{R}}\)
Będę bardzo wdzięczny za nawet drobną wskazówkę jak ruszyć z miejsca
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Witajcie, wiem, że zadanie jest prawdopodobnie banalnie proste, jednak wybaczcie, dopiero się uczę...
Oto treść: Znajdź wszystkie liczby \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z} \in \mathbb{R}}\)
Będę bardzo wdzięczny za nawet drobną wskazówkę jak ruszyć z miejsca
Oto treść: Znajdź wszystkie liczby \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\) takie że \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z} \in \mathbb{R}}\)
Będę bardzo wdzięczny za nawet drobną wskazówkę jak ruszyć z miejsca
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Nie ma czego wybaczać.
Wskazówka: pomnożyć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 1-\overline z}\).-- 11 paź 2016, o 19:51 --Dalej popatrz na część urojona przekształconego licznika: kiedy jest ona równa \(\displaystyle{ 0}\)?
Wskazówka: pomnożyć licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 1-\overline z}\).-- 11 paź 2016, o 19:51 --Dalej popatrz na część urojona przekształconego licznika: kiedy jest ona równa \(\displaystyle{ 0}\)?
-
Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Założenia na \(\displaystyle{ z}\).
Metody, które mi przychodzą do głowy:
1. Spróbuj skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ w\in\mathbb{R}\ \iff\ w=\overline{w}}\).
2. \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=-\frac{-z+1-2}{1-z}=-1+\frac{2}{1-z}}\), zatem łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ 1-z\in\mathbb{R}}\).
Metody, które mi przychodzą do głowy:
1. Spróbuj skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ w\in\mathbb{R}\ \iff\ w=\overline{w}}\).
2. \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=-\frac{-z+1-2}{1-z}=-1+\frac{2}{1-z}}\), zatem łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ 1-z\in\mathbb{R}}\).
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Wyszedłem od tego, co poradził Premislav, jednak chyba coś robię źle:
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z} * \frac{1-\overline{z}}{1-\overline{z}} = \frac{1-\overline{z}+z-z*\overline{z}}{1-\overline{z}-z+z*\overline{z}} = \frac{1-(a-ib)+(a+ib)-|z|^{2}}{1-(a-ib)-(a-ib)+|z|^{2}} = \frac{1+2ib-a^{2}-b^{2}}{1-2a+2ib+a^{2}+b^{2}}}\)
i co dalej?
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z} * \frac{1-\overline{z}}{1-\overline{z}} = \frac{1-\overline{z}+z-z*\overline{z}}{1-\overline{z}-z+z*\overline{z}} = \frac{1-(a-ib)+(a+ib)-|z|^{2}}{1-(a-ib)-(a-ib)+|z|^{2}} = \frac{1+2ib-a^{2}-b^{2}}{1-2a+2ib+a^{2}+b^{2}}}\)
i co dalej?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Druga równość jest niepoprawna, przecież tam napisałeś dwa razy \(\displaystyle{ -\overline z}\), zamiast
\(\displaystyle{ -z-\overline z}\).-- 11 paź 2016, o 20:19 --Chodzi o ten mianownik.
Tam się skrócą części urojone.
\(\displaystyle{ -z-\overline z}\).-- 11 paź 2016, o 20:19 --Chodzi o ten mianownik.
Tam się skrócą części urojone.
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Racja. Głupi błąd.
\(\displaystyle{ \frac{1-(a-ib)+(a+ib)-|z|^{2}}{1-(a-ib)-(a+ib)+|z|^{2}} = \frac{1+2ib-a^{2}-b^{2}}{1-2a+a^{2}+b^{2}}}\)
Czy to już ten moment żeby spojrzeć kiedy część urojona licznika = 0? Wychodziłoby że wtedy gdy \(\displaystyle{ b=0}\)?
\(\displaystyle{ \frac{1-(a-ib)+(a+ib)-|z|^{2}}{1-(a-ib)-(a+ib)+|z|^{2}} = \frac{1+2ib-a^{2}-b^{2}}{1-2a+a^{2}+b^{2}}}\)
Czy to już ten moment żeby spojrzeć kiedy część urojona licznika = 0? Wychodziłoby że wtedy gdy \(\displaystyle{ b=0}\)?
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Hmm, nie rozumiem.. \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\) to już rozwiązanie czy muszę podstawić za b -> 0?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Znajdź wszystkie liczby z(...)
No to przecież właśnie skoro podstawiłeś
\(\displaystyle{ z=a+bi}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\) i wyszło, że \(\displaystyle{ b=0}\), to musi być \(\displaystyle{ z\in \RR}\), bo ma zerową część urojoną.
Tylko że to jeszcze nie wszystko - jaka jest dziedzina tego ułamka z treści zadania?
\(\displaystyle{ z=a+bi}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\) i wyszło, że \(\displaystyle{ b=0}\), to musi być \(\displaystyle{ z\in \RR}\), bo ma zerową część urojoną.
Tylko że to jeszcze nie wszystko - jaka jest dziedzina tego ułamka z treści zadania?
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Dziedzina ułamka to \(\displaystyle{ z \neq 1}\) czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ z \in \RR - \left\{ 1\right\}}\)? Umyka mi nadal jak dokładnie przebiega to rozumowanie...
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Dwóch rzeczy:
1) jak wpaść na to, że na początku należy przemnożyć przez \(\displaystyle{ 1-\overline{z}}\)? Metoda prób i błędów?
2) czy to przypadek że ten sam wynik otrzymalibyśmy na początku zakładając po prostu że \(\displaystyle{ z=a+bi}\)? Bo wtedy też wystarczy \(\displaystyle{ b=0}\) aby całość należała do \(\displaystyle{ \RR}\) i w zasadzie ułamek z treści spowodowałby tylko zmianę dziedziny a nasze przeliczenia byłyby zbędne...
1) jak wpaść na to, że na początku należy przemnożyć przez \(\displaystyle{ 1-\overline{z}}\)? Metoda prób i błędów?
2) czy to przypadek że ten sam wynik otrzymalibyśmy na początku zakładając po prostu że \(\displaystyle{ z=a+bi}\)? Bo wtedy też wystarczy \(\displaystyle{ b=0}\) aby całość należała do \(\displaystyle{ \RR}\) i w zasadzie ułamek z treści spowodowałby tylko zmianę dziedziny a nasze przeliczenia byłyby zbędne...
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Znajdź wszystkie liczby z(...)
1) naturalne w tym zadaniu jest, by spróbować znaleźć część urojoną tego ułamka \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}}\)
i przyrównac ją do \(\displaystyle{ 0}\). W tym celu mnożymy i dzielimy przez sprzężenie mianownika
- przekształcamy w ten sposób ułamek tak, aby mieć zawsze rzeczywisty mianownik.
Jeżeli \(\displaystyle{ d\in \RR}\) i d nie jest zerem, to dla dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ c}\) mamy
\(\displaystyle{ c \in \RR \Leftrightarrow \frac cd \in \RR}\)
-- 11 paź 2016, o 22:04 --
2) wprawdzie to wystarczy, ale nie widać na pierwszy rzut oka, że jest to warunek konieczny. A Ty masz znaleźć wszystkie rozwiązania.
Bardziej eleganckie jest takie rozwiązanie, jakie zaproponował Lider_M-- 11 paź 2016, o 22:11 --Aha, jeszcze dodam, że
\(\displaystyle{ \overline{1-z}=1-\overline z}\),
ogólnie \(\displaystyle{ \overline{z-w}=\overline z-\overline w}\).
i przyrównac ją do \(\displaystyle{ 0}\). W tym celu mnożymy i dzielimy przez sprzężenie mianownika
- przekształcamy w ten sposób ułamek tak, aby mieć zawsze rzeczywisty mianownik.
Jeżeli \(\displaystyle{ d\in \RR}\) i d nie jest zerem, to dla dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ c}\) mamy
\(\displaystyle{ c \in \RR \Leftrightarrow \frac cd \in \RR}\)
-- 11 paź 2016, o 22:04 --
2) wprawdzie to wystarczy, ale nie widać na pierwszy rzut oka, że jest to warunek konieczny. A Ty masz znaleźć wszystkie rozwiązania.
Bardziej eleganckie jest takie rozwiązanie, jakie zaproponował Lider_M-- 11 paź 2016, o 22:11 --Aha, jeszcze dodam, że
\(\displaystyle{ \overline{1-z}=1-\overline z}\),
ogólnie \(\displaystyle{ \overline{z-w}=\overline z-\overline w}\).
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Już rozumiem! Bardzo dziękuję
A jeśli chodzi o rozwiązanie Lider_M to spróbowałem właśnie od tego wyjść że \(\displaystyle{ z = \overline{z}}\) czyli korzystając z podobnego faktu do tego jaki podałeś w ostatniej linijce swojego ostatniego posta (tylko że dla dzielenia) mielibyśmy warunek:
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=\frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}}\iff
(1+z)(1-\overline{z})=(1-z)(1+\overline{z})\iff\\\\
1-\overline{z}+z-z*\overline{z}=1+\overline{z}-z-z*\overline{z} \ \ \ \ (*) \ \ \iff
-\overline{z}+z=\overline{z}-z\iff\\
-a+bi+a+bi=a-bi-a-bi\iff
2bi=0}\)
czyli niby poprawnie ale pojawia się pytanie: bo gdybyśmy w miejscu oznaczonym \(\displaystyle{ (*)}\) spróbowali dalej redukować to byłoby tak:
\(\displaystyle{ -2\overline{z}=-2z \iff z=\overline{z}}\) i co wtedy?
A jeśli chodzi o rozwiązanie Lider_M to spróbowałem właśnie od tego wyjść że \(\displaystyle{ z = \overline{z}}\) czyli korzystając z podobnego faktu do tego jaki podałeś w ostatniej linijce swojego ostatniego posta (tylko że dla dzielenia) mielibyśmy warunek:
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=\frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}}\iff
(1+z)(1-\overline{z})=(1-z)(1+\overline{z})\iff\\\\
1-\overline{z}+z-z*\overline{z}=1+\overline{z}-z-z*\overline{z} \ \ \ \ (*) \ \ \iff
-\overline{z}+z=\overline{z}-z\iff\\
-a+bi+a+bi=a-bi-a-bi\iff
2bi=0}\)
czyli niby poprawnie ale pojawia się pytanie: bo gdybyśmy w miejscu oznaczonym \(\displaystyle{ (*)}\) spróbowali dalej redukować to byłoby tak:
\(\displaystyle{ -2\overline{z}=-2z \iff z=\overline{z}}\) i co wtedy?
-
Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Znajdź wszystkie liczby z(...)
Właśnie, bez wstawiania \(\displaystyle{ z=a+ib}\) otrzymałbyś, że \(\displaystyle{ z=\overline{z}}\), czyli \(\displaystyle{ z\in\mathbb{R}}\) (oczywiście plus uwzględnienie dziedziny).
Edit, i my wychodzimy nie od tego, że \(\displaystyle{ z=\overline{z}}\), tylko \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=\overline{\left(\frac{1+z}{1-z}\right)}}\), bo chcesz, żeby \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}\in\mathbb{R}}\).
Edit, i my wychodzimy nie od tego, że \(\displaystyle{ z=\overline{z}}\), tylko \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=\overline{\left(\frac{1+z}{1-z}\right)}}\), bo chcesz, żeby \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}\in\mathbb{R}}\).