Równanie liczb zespolonych

[tomek1413]

\(\displaystyle{ (z-i)^{4}=16}\) I nie wiem jak się za to zabrać.Zamienić \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i podnieść to do 4 potęgi?Ale to będą dziwne liczby wtedy i ciężko to będzie rozwiązać.Naprowadzi ktoś jak to zrobić?

[kalwi]

\(\displaystyle{ (z-i)^4=2^4}\)

Więc wiadomo, że jednym z pierwiastków dla lewej strony (tj. dla \(\displaystyle{ z-i}\)) jest \(\displaystyle{ 2}\). Pozostałe łatwo wyznaczyć wykorzystując pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki czwartego stopnia z jedynki to: \(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\).

Więc wtedy:

\(\displaystyle{ z-i=2 \vee z-i=-2 \vee z-i=2i \vee z-i=-2i}\)

No i masz stąd rozwiązanie.

[tomek1413]

Hmm ten pierwszy pierwiastek rozumiem,ale skąd się wzięły pierwiastki z jedynki?

[kalwi]

\(\displaystyle{ (1)^4=1 \\ (-1)^4=1 \\ (i)^4=1 \\ (-i)^4=1}\)

To akurat łatwo zapamiętać. Pierwiastki z jedynki trzeciego stopnia trzeba by już było policzyć, bo nie będą takie ładne.

[tomek1413]

Czyli rozumiem,że wziąłeś prawą strone potraktowałeś ją jako jeden,a potem pomnożyłeś razy dwa?Jakby tam było \(\displaystyle{ (z-i)^4=3^4}\) to by sie zrobiło \(\displaystyle{ z-i=3 , z-i=-3 , z-i=-3i , z-i =-3i}\) ??

[kalwi]

1) Nie. Jeśli masz równanie typu \(\displaystyle{ z^n=x^n}\), to od razu można powiedzieć, że jednym z pierwiastków na pewno będzie \(\displaystyle{ z=x}\). Z kolei jakieś tam twierdzenie mówi, że wszystkimi pierwiastkami tego równania będą

\(\displaystyle{ x\omega_0,x\omega_1,x\omega_2,\dots,x\omega_n}\)

Przy czym

\(\displaystyle{ \omega_0,\dots,\omega_n}\) - pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki. Oraz zawsze jednym z pierwiastków z jedynki jest jeden (zazwyczaj oznaczane \(\displaystyle{ \omega_0}\)).

2) Tak, tyle by to wyniosło