Witam, oto pacjent:
\(\displaystyle{ z^{3}= (2+i)^{9}}\)
Czy mogę sobie spokojnie podnieść obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ? Wtedy było by:
\(\displaystyle{ z= (2+i)^{3}\\
z=(4+2i+2i-1)(2+i)=(3+4i)(2+i)\\
z=2+11i}\)
Dobrze kombinuje? Nie jestem pewny czy mogę sobie podnieść do tej potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) bo to znacznie ułatwia zadanie i nie wiem czy się nie robi za proste
Równanie liczb zespolonych
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Równanie liczb zespolonych
Niestety nie możesz. Wynika to z tego, że nie ma jednoznacznie zdefiniowanego pierwiastka algebraicznego z liczby zespolonej.
Weźmy to Twoje równanie:
\(\displaystyle{ z^3= \left( 2+i \right) ^9}\)
Co prawda nie można wyciągnąć tego pierwiastka, ale można napisać równanie równoważne:
\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{ \left( 2+i \right) ^3}\right)^3=1}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ w=\frac{z}{ \left( 2+i \right) ^3}}\) otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ w^3=1}\)
To równanie ma trzy pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ w_n=\cos \left( \frac{2\pi n}{3} \right) +i\sin \left( \frac{2\pi n}{3} \right)}\)
dla \(\displaystyle{ n=0,1,2}\). Zatem Twoje równanie ma trzy pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ z_n= \left( 2+i \right) ^3w_n= \left( 2+i \right) ^3 \left( \cos \left( \frac{2\pi n}{3} \right) +i\sin \left( \frac{2\pi n}{3} \right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ n=0,1,2}\).
Weźmy to Twoje równanie:
\(\displaystyle{ z^3= \left( 2+i \right) ^9}\)
Co prawda nie można wyciągnąć tego pierwiastka, ale można napisać równanie równoważne:
\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{ \left( 2+i \right) ^3}\right)^3=1}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ w=\frac{z}{ \left( 2+i \right) ^3}}\) otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ w^3=1}\)
To równanie ma trzy pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ w_n=\cos \left( \frac{2\pi n}{3} \right) +i\sin \left( \frac{2\pi n}{3} \right)}\)
dla \(\displaystyle{ n=0,1,2}\). Zatem Twoje równanie ma trzy pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ z_n= \left( 2+i \right) ^3w_n= \left( 2+i \right) ^3 \left( \cos \left( \frac{2\pi n}{3} \right) +i\sin \left( \frac{2\pi n}{3} \right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ n=0,1,2}\).
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2016, o 17:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Równanie liczb zespolonych
Można by było tak zrobić tylko trzeba pamiętać o tym że są jeszcze 2 inne pierwiastki na okręgu w równych odstępach więc:
\(\displaystyle{ z_1=2+11i}\)
\(\displaystyle{ z_2=(2+11i)e^ {\frac{2 \pi }{3}i}}\)
\(\displaystyle{ z_3=(2+11i)e^ {\frac{4 \pi }{3}i}}\)
mnożenie przez \(\displaystyle{ e^{ \alpha i}}\) tylko obraza o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
zauważ że kolejne pomnożenie dało by \(\displaystyle{ z_1}\).
\(\displaystyle{ z_1=2+11i}\)
\(\displaystyle{ z_2=(2+11i)e^ {\frac{2 \pi }{3}i}}\)
\(\displaystyle{ z_3=(2+11i)e^ {\frac{4 \pi }{3}i}}\)
mnożenie przez \(\displaystyle{ e^{ \alpha i}}\) tylko obraza o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
zauważ że kolejne pomnożenie dało by \(\displaystyle{ z_1}\).