Równanie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
dzejkobjj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2016, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 7 razy

Równanie liczb zespolonych

Post autor: dzejkobjj »

Witam, oto pacjent:
\(\displaystyle{ z^{3}= (2+i)^{9}}\)

Czy mogę sobie spokojnie podnieść obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ? Wtedy było by:

\(\displaystyle{ z= (2+i)^{3}\\
z=(4+2i+2i-1)(2+i)=(3+4i)(2+i)\\
z=2+11i}\)


Dobrze kombinuje? Nie jestem pewny czy mogę sobie podnieść do tej potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) bo to znacznie ułatwia zadanie i nie wiem czy się nie robi za proste
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Równanie liczb zespolonych

Post autor: Slup »

Niestety nie możesz. Wynika to z tego, że nie ma jednoznacznie zdefiniowanego pierwiastka algebraicznego z liczby zespolonej.
Weźmy to Twoje równanie:
\(\displaystyle{ z^3= \left( 2+i \right) ^9}\)
Co prawda nie można wyciągnąć tego pierwiastka, ale można napisać równanie równoważne:
\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{ \left( 2+i \right) ^3}\right)^3=1}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ w=\frac{z}{ \left( 2+i \right) ^3}}\) otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ w^3=1}\)
To równanie ma trzy pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ w_n=\cos \left( \frac{2\pi n}{3} \right) +i\sin \left( \frac{2\pi n}{3} \right)}\)
dla \(\displaystyle{ n=0,1,2}\). Zatem Twoje równanie ma trzy pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ z_n= \left( 2+i \right) ^3w_n= \left( 2+i \right) ^3 \left( \cos \left( \frac{2\pi n}{3} \right) +i\sin \left( \frac{2\pi n}{3} \right) \right)}\)
dla \(\displaystyle{ n=0,1,2}\).
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2016, o 17:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Równanie liczb zespolonych

Post autor: Janusz Tracz »

Można by było tak zrobić tylko trzeba pamiętać o tym że są jeszcze 2 inne pierwiastki na okręgu w równych odstępach więc:
\(\displaystyle{ z_1=2+11i}\)
\(\displaystyle{ z_2=(2+11i)e^ {\frac{2 \pi }{3}i}}\)
\(\displaystyle{ z_3=(2+11i)e^ {\frac{4 \pi }{3}i}}\)

mnożenie przez \(\displaystyle{ e^{ \alpha i}}\) tylko obraza o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
zauważ że kolejne pomnożenie dało by \(\displaystyle{ z_1}\).
dzejkobjj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2016, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 7 razy

Równanie liczb zespolonych

Post autor: dzejkobjj »

Ok, rozumiem oba rozwiązania. Dzięki wielkie panowie.
ODPOWIEDZ