Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej

[keydio]

hej, pomóżcie korzystam z z książki siewierskiego i nie mogę zrozumieć paru sposobów postępowania...

mianowicie jak przekształcić równanie

\(\displaystyle{ \frac{-y}{x^2 + y^2} = \alpha}\)
w
\(\displaystyle{ x^2 + (y + \frac{1}{2}\alpha)^{2} = \frac{1}{4}\alpha^{2}}\) -----> czyli równanie okręgu

dla \(\displaystyle{ \alpha\neq 0}\)

oraz
\(\displaystyle{ |(x-1) + yi| = \cdot |x + (y + 1)i|}\)
w
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}}\)

Poprawiam zapis. Polecam Instrukcję LaTeXa. Calasilyar

[jovante]

Przekształcenie \(\displaystyle{ \frac{-y}{x^2+y^2}=\alpha\Rightarrow x^2+(y+\frac{1}{2}\alpha)^2=\frac{1}{4}\alpha^2}\) jest fałszywe. Trójka \(\displaystyle{ (x,y,\alpha)=(1,-1,\frac{1}{2})}\) spełnia pierwsze równanie, zaś drugiego już nie. Powinno być \(\displaystyle{ \frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{1}{\alpha}\Rightarrow x^2+(y+\frac{1}{2}\alpha)^2=\frac{1}{4}\alpha^2}\).

Co do drugiego, to wystarczy skorzystać z definicji modułu liczby zespolonej. Jeżeli \(\displaystyle{ z=a+bi}\), to \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}}\).

[keydio]

Dzięki za poprawienie tekstu Calasilyar, niestety podczas poprawiania wystąpił błąd. Poprawny zapis przedstawiam jeszcze raz. Co do własności to już rozumiem dzięki Jovante. A czy teraz potrafiłbyś przekształcić to równanie


\(\displaystyle{ \frac{-y}{x^2 + y^2} = \alpha}\)
w
\(\displaystyle{ x^2 + (y + \frac{1}{2}\alpha)^{2} = \frac{1}{4\alpha^{2}}}\) -----> czyli równanie okręgu

dla \(\displaystyle{ \alpha\neq 0}\)

[jovante]

znowu coś jest źle, czy przypadkiem nie powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{-y}{x^2 + y^2} = x^2 + (y + \frac{1}{2\alpha})^{2} = \frac{1}{4\alpha^{2}}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\neq 0}\)

[keydio]

tak, teraz jest w porządku... nie zwróciłem uwagi na wewnętrzny nawias

[jovante]

nie wiem, czy Twoje słowa "teraz jest w porządku" oznaczają, że zapis jest dobry, czy już wiesz jak to przekształcić...

\(\displaystyle{ \frac{-y}{x^2+y^2}=\alpha -\frac{y}{\alpha}=x^2+y^2 x^2+y^2+\frac{y}{\alpha}+\frac{1}{4\alpha^2}-\frac{1}{4\alpha^2}=0 \\ x^2+(y+\frac{1}{2\alpha})^2=(\frac{1}{2\alpha})^2 \hbox{ dla } 0 (x,y) (0,0)}\)

poprawiłem znaki

[keydio]

Tak, chodziło o zapis, teraz już rozumie i wszystko się zgadza... zrobiłeś małą literówkę w znakach, ale każdemu się może zdarzyć. Wielkie dzięki za pomoc.

[ Dodano: 8 Września 2007, 14:29 ]
Rozwiązując dalej zadania znalazłem zapis

\(\displaystyle{ u+iv = sin(x + iy)}\)

który został przekształcony w postać

\(\displaystyle{ u+iv = sinx\cdot cosiy + cosx\cdot siniy}\)

czy to jest również z własności liczb zespolonych, szukałem na rożnych stronach lecz nie znalazłem nic na ten temat