Płaszczyzna zespolona, nierówność z modułem i arg(z)

[india44]

Witam,

Nie wiem w jaki sposób rozwiązać dwa poniższe przypadki:

Polecenie: Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej liczby spełniające warunki:
1.
\(\displaystyle{ Re( z^{4})>0}\)

Jeżeli chodzi o ten przypadek to próbowałem kombinować i rozpisywać \(\displaystyle{ (x+yi)^4}\) korzystając z trójkąta Pascala i oddzielić część rzeczywistą, jednak nierówności z wartością bezwzględną jakie otrzymuję nie potrafię narysować. Ponadto próbowałem korzystać z postaci trygonometrycznej, w konsekwencji otrzymałem \(\displaystyle{ |z|^4cos(4\varphi)>0}\) ale nie wiem jak określone przedziały przenieść na płaszczyznę zespoloną.

2.
\(\displaystyle{ |z+ 2\pi| \le -arg(z+2 \pi ) \wedge |z+2 \pi | \ge - \frac{1}{2}arg(z+2 \pi )}\)

Radzę sobie z zadaniami w których występuje \(\displaystyle{ arg(z)}\) albo \(\displaystyle{ |z|}\), natomiast gdy występują razem w jednej nierówności nie wiem jak się za to zabrać. Ponadto nie wiem jak szkicować nierówności ze spiralą Archimedesa.

//edit
Opcjonalnie, jakby ktoś podpowiedział też jak naszkicować:
\(\displaystyle{ |z|=arg(z)}\)

[karakuku]

Ponadto próbowałem korzystać z postaci trygonometrycznej, w konsekwencji otrzymałem \(\displaystyle{ |z|^4cos(4\varphi)>0}\) ale nie wiem jak określone przedziały przenieść na płaszczyznę zespoloną.

\(\displaystyle{ \cos (4\varphi) >0 \Rightarrow 4\varphi \in (2k\pi- \frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}), k\in\mathbb{Z}}\)

Czyli \(\displaystyle{ \varphi \in ( \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{8},\frac{k\pi}{2}+ \frac{\pi}{8}),k\in\mathbb{Z}}\)

Więc wykres będzie wyglądał tak:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[domain=-5:5] \draw [help lines] (5,-5) grid (-5,5);

\filldraw[color=red!50](0,0) -- (5,2.07) -- (5,-2.07);
\filldraw[color=red!50](0,0) -- (2.07,5) -- (-2.07,5);
\filldraw[color=red!50](0,0) -- (-5,2.07) -- (-5,-2.07);
\filldraw[color=red!50](0,0) -- (2.07,-5) -- (-2.07,-5);
\draw [->] (-5,0) -- (5,0); \draw [->] (0,-5) -- (0,5);
\end{tikzpicture}}\)

[india44]

Super, dzięki

Pozostało jeszcze 2

[karakuku]

Tak wyglądają wykresy \(\displaystyle{ |z|=-arg(z)}\) i \(\displaystyle{ |z|=- \frac{1}{2} arg(z)}\).

Sposobu dokładnego naszkicowania na kartce nie znam

[mortan517]

Ogólny sposób rysowania \(\displaystyle{ |z|=arg(z)}\) - moduł danej liczby równy jest kątowi w radianach. Czyli będzie przechodził przez odpowiednie osie przy wielokrotnościach \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).