Postać wykładnicza, płaszczyzna

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Maciek93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 31 sie 2016, o 14:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: Maciek93 »

Rozwiąż, zaznacz na płaszczyźnie oraz przekształć na postać wykładniczą.
\(\displaystyle{ i^{60} \cdot z^{3} - i^{16} + 28 = 0}\)

Próbowałem zamieniać \(\displaystyle{ i^{60}}\) oraz \(\displaystyle{ i^{16}}\) na 1(ze względu, że \(\displaystyle{ i^{4}=1}\)) i otrzymałem \(\displaystyle{ z^{3} = 27i^{2}}\).
Zatem \(\displaystyle{ |z| = \sqrt{0^{2}+27^{2}} = 27}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi=0 \ | \ \sin \varphi = 1 \ | \ \varphi = \frac{\pi}{2}}\)

Postać wykładnicza: \(\displaystyle{ z= 27e^{i \frac{\pi}{2}}}\)

Wynik: \(\displaystyle{ z^{3} = (27i)^{3}}\)

Jeżeli dobrze myślę to będzie to wyglądać na płaszczyźnie jako wektor na osi Y(Im) o dł. \(\displaystyle{ 27}\).
Ostatnio zmieniony 31 sie 2016, o 15:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: Poszukujaca »

Dobrze przekształciłeś równanie doprowadzając go do \(\displaystyle{ z^{3} = 27 i^{2}}\), ale zauważ, że masz znaleźć \(\displaystyle{ z}\), a nie \(\displaystyle{ z^{3}}\), zatem powinieneś wykorzystać wzór na pierwiastek z liczby zespolonej. Skoro pierwiastek będzie trzeciego stopnia, to będą trzy takie rozwiązania.
kalwi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1931
Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 145 razy
Pomógł: 320 razy

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: kalwi »

\(\displaystyle{ z^3=-27}\)

I od razu widać, że jednym z rozwiązań jest

\(\displaystyle{ z=-3}\)

Dwa pozostałe można uzyskać licząc pierw. 3 stopnia z jedynki:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}=\cos \frac{ 2k\pi}{3}+i\sin \frac{2k\pi}{3} \\ k \in \left\{ 0,1,2\right\}}\)

Więc

\(\displaystyle{ \omega_0=\cos0+i\sin0=1 \\ \omega_1=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}= \frac{-1+i\sqrt3}{2} \\ \omega_2= \cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}= \frac{1+i\sqrt3}{2}}\)

No i finalnie odpowiedź do zadania to:

\(\displaystyle{ z_0=-3\omega_0 \\ z_1=-3\omega_1 \\ z_2=-3\omega_2}\)
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: Kacperdev »

można też:

\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)\left( a^2-ab+b^2\right)}\)

\(\displaystyle{ z^3+3^3=(z+3)\left( z^2-3z+9\right)}\)

drugi czynnik np. deltą.
Maciek93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 31 sie 2016, o 14:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: Maciek93 »

Obliczyłem z podstawowego wzóru te 3 pierwiastki i otrzymałem zły wynik(-3i), dwa pozostałe pewnie też:
\(\displaystyle{ \omega_0= \sqrt[3]{27} (\cos \frac{ \frac{\pi}{2}+2*0*\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{6})=3( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{i}{2}) =\frac{3 \sqrt{3} }{2} + \frac{3}{2}i}\)

\(\displaystyle{ \omega_1= 3(\cos \frac{ \frac{\pi}{2} + 2\pi }{3} + i\sin \frac{ \frac{\pi}{2} + 2\pi}{3}) = 3(\cos\pi- \frac{\pi}{6} + \sin\pi- \frac{\pi}{6}) = 3(-\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})=-\frac{3 \sqrt{3} }{2} + \frac{3}{2}i}\)

\(\displaystyle{ \omega_2=3(\cos \frac{ \frac{ \pi }{2} +4 \pi }{3}+i\sin\frac{ \frac{ \pi }{2} +4 \pi }{3})=3(\cos \frac{3}{2} \pi +i\sin\frac{3}{2} \p)=3(\cos(\pi+\frac{ \pi }{2})+i\sin(\pi+\frac{ \pi }{2}) =3(-\cos \frac{\pi}{2}-i\sin \frac{ \pi }{2}) =-3i}\)
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: Kacperdev »

\(\displaystyle{ -27=3\left[ \cos\left( \pi+2k\pi\right) + i\sin\left( \pi+2k\pi\right) \right]}\)

zamiast \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) ma byc \(\displaystyle{ \pi}\)
Maciek93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 31 sie 2016, o 14:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: Maciek93 »

Kacperdev pisze:zamiast \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) ma byc \(\displaystyle{ \pi}\)
To wynika z zadania - źle policzyłem kąt \(\displaystyle{ \varphi}\)(pierwszy post) czy zły wzór mam?
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Postać wykładnicza, płaszczyzna

Post autor: Kacperdev »

Pierwszy post jest dość generalnie do bani:

pisanie: \(\displaystyle{ z^3=27i^2}\) komplikuje sprawę reprezentacją na płaszczyznie zespolonej liczby po prawej stronie i szukaniu jej pierwiastków.

mając postać: \(\displaystyle{ z^3=-27}\) od razu widać, że moduł liczby z prawej strony to \(\displaystyle{ 27}\) a kąt to \(\displaystyle{ \pi}\)
ODPOWIEDZ