Moje zadanie to: \(\displaystyle{ z^3=(- \sqrt{3} +i)^{15}}\)
Zamieniłam na postać trygonometryczną \(\displaystyle{ (i2^{15})}\) i wyliczyłam 3 pierwiastki:
\(\displaystyle{ w_{0} = 16( \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ w_{1} = 16(- \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ w_{2} = -32i}\)
Mam problem z postacią trygonometryczną. Dla pierwszego pierwiastka obliczenia:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2^{15}} (cos \frac{ \pi }{6}+isin \frac{ \pi }{6})=32(cos \frac{ \pi }{6}+isin \frac{ \pi }{6})=2^5( \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2})=16( \sqrt{3} +i)}\)
Czy w tym przypadku \(\displaystyle{ 32(cos \frac{ \pi }{6}+isin \frac{ \pi }{6})}\) będzie postacią trygonometryczną, zaś w kolejnych \(\displaystyle{ 32(-cos \frac{ \pi }{6} +isin\frac{ \pi }{6} )}\) oraz \(\displaystyle{ 32(cos \frac{3 \pi }{2} +isin \frac{3 \pi }{2})}\) ? Ponadto byłabym wdzięczna za instrukcję jak to zamienić na postać wykładniczą.
Postać trygonometryczna i wykładnicza
-
Benny01
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Postać trygonometryczna i wykładnicza
\(\displaystyle{ z^3=(- \sqrt{3} +i)^{15}}\)
\(\displaystyle{ r^3e^{3i \phi}=2^{15}e^{ \frac{1}{2} \pi i}}\)
\(\displaystyle{ r^3=2^{15}}\)
\(\displaystyle{ 3 \phi = \frac{1}{2} \pi +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ r^3e^{3i \phi}=2^{15}e^{ \frac{1}{2} \pi i}}\)
\(\displaystyle{ r^3=2^{15}}\)
\(\displaystyle{ 3 \phi = \frac{1}{2} \pi +2k \pi}\)
Postać trygonometryczna i wykładnicza
Dziękuję, ale mam trzy pierwiastki równania przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej. Tylko najpierw byłabym wdzięczna za odpowiedź czy postacie trygonometryczne są poprawne.
-
kalwi
- Użytkownik
- Posty: 1931
- Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 145 razy
- Pomógł: 320 razy
Postać trygonometryczna i wykładnicza
No i dokładnie taką odpowiedź dostałaś powyżej.
Skoro
\(\displaystyle{ 3 \phi = \frac{1}{2} \pi +2k \pi}\)
to
\(\displaystyle{ \phi=\frac{1}{6} \pi +\frac{2}{3}k \pi}\)
przy czym \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)
Więc
\(\displaystyle{ z_k=32\left( \cos\left( \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \p \right) +i\sin\left( \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \p \right)\right)=32e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \right) }}\)
Skoro
\(\displaystyle{ 3 \phi = \frac{1}{2} \pi +2k \pi}\)
to
\(\displaystyle{ \phi=\frac{1}{6} \pi +\frac{2}{3}k \pi}\)
przy czym \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)
Więc
\(\displaystyle{ z_k=32\left( \cos\left( \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \p \right) +i\sin\left( \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \p \right)\right)=32e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \right) }}\)