Mam problem z dowodem twierdzenia i udowodnieniem jednego z wniosków, które z niego wynikają.
Niech \(\displaystyle{ w(z)=a_nz^{n}+...+a_1z+a_0 , \forall i : a_i \in \mathbb{R}, a_n \neq 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ z_0 \in \mathbb{C}}\) jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu \(\displaystyle{ w(z) \Leftrightarrow \overline{z_0}}\) jest pierwiastkiem k-krotnym dla \(\displaystyle{ w(z)}\)
Dowód:
Z definicji mamy : \(\displaystyle{ \exists p(z): w(z)=(z-z_0)^{k}p(z_0)}\)
\(\displaystyle{ p(z)=b_mz^{m}+...+b_1z+b_0, \forall i :b_i \in \mathbb{C},b_m \neq 0, m+k=n,p(z_0) \neq 0}\)
I teraz zapisuje korzystając z własności sprzężenia : \(\displaystyle{ w(\overline{z})=a_n(\overline{(z)^{n}})+...+a_1\overline{z}+a_0 =\overline{a_nz^{n}+...+a_1z+a_0}=\overline{w(z)}}\) I teraz nie wiem dlaczego to się równa \(\displaystyle{ (z-z_0)^{k}p(z)}\)
W kolejnym kroku wstawiamy \(\displaystyle{ \overline{z}}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\) i otrzymujemy : \(\displaystyle{ w(z)=w(\overline{z})=(z-\overline{z_0})^{k}p(\overline{z})}\)
Z czego wnioskujemy że \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\)jest pierwiastkiem wielomianu co najmniej krotności k.
Teraz kolejny krok, którego już zupełnie nie rozumiem
\(\displaystyle{ q(z)=\overline{p(\overline{z})}}\)
Rozpisujemy z wyżej podanego przepisu i wstawiamy \(\displaystyle{ z_0}\)
\(\displaystyle{ q(z_0)=\overline{p(\overline{z_0})}}\) korzystamy kolejny raz z własności sprzężenia (\(\displaystyle{ \overline{\overline{z}}=z}\)) i dostajemy \(\displaystyle{ \overline{b_n(z_0)^{m}+...+b_1z_0+b_0}=\overline{p(z_0)}\neq0}\)
Czyli \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) jest pierwiastkiem dokładnie krotności k.
I teraz jeden z wniosków mówi, że
Każdy wielomian rzeczywisty jest iloczynem wielomianów stopnia 1 i nierozkładalnych w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wielomianów stopnia 2.
Bardzo proszę o pomoc z tymi dwoma dowodami.
O pierwiastkach zespolonych wielomianu rzecywistego
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 790
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
O pierwiastkach zespolonych wielomianu rzecywistego
Mogę zaproponować dwa dowody.
1). Niech \(\displaystyle{ z_0}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(z)=a_nz^n+...+a_1z+a_0}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n\in \mathbb{R}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ z_0\in \mathbb{R}}\), to teza jest oczywista. Załóżmy, że \(\displaystyle{ z_0\not \in \mathbb{R}}\). Wtedy \(\displaystyle{ z_0\neq \overline{z_0}}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 0=\overline{w(z_0)}=\overline{a_n}\overline{z_0^n}+...+\overline{a_1}\overline{z_0}+\overline{a_0}=}\)
\(\displaystyle{ =a_n\overline{z_0}^n+...+a_1\overline{z_0}+a_0=w(\overline{z_0})}\)
Zatem \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) też jest pierwiatkiem. Stąd \(\displaystyle{ w(z)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ q(z)=(z-z_0)(z-\overline{z_0})=z^2-(z_0+\overline{z_0})z+z_0\overline{z_0}}\). Widać, że:
\(\displaystyle{ q(z)=z^2-(z_0+\overline{z_0})z+z_0\overline{z_0}}\) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Stąd możemy zapisać:
\(\displaystyle{ w(z)=q(z)p(z)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p(z)}\) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Z tego, że \(\displaystyle{ z_0}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ w(z)}\) i \(\displaystyle{ 1}\)-krotnym pierwiatkiem \(\displaystyle{ q(z)}\) wynika, że jest \(\displaystyle{ k-1}\)-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ p(z)}\).
Stosując indukcję po \(\displaystyle{ k}\) dostajemy, że:
\(\displaystyle{ q(z)^{k-1}|p(z)}\)
czyli \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) jest \(\displaystyle{ k-1}\)-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ p(z)}\). Czyli jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ w(z)=q(z)p(z)}\)
2) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie ciałem oraz \(\displaystyle{ K}\) będzie jego algebraicznym domknięciem. Weźmy \(\displaystyle{ \sigma:K\rightarrow K}\) autmorfizm \(\displaystyle{ K}\), który działa identycznościowo na \(\displaystyle{ k}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sigma}\) indukuje na \(\displaystyle{ K[x]}\) automorfizm zadany przez:
\(\displaystyle{ \overline{\sigma}(a_nx^n+...+a_1x+a_0)=\sigma(a_n)x^n+...+\sigma(a_1)x+\sigma(a_0)}\)
dla \(\displaystyle{ a_0,...,a_n\in K}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \overline{\sigma}}\) działa identycznościowo na podpierścieniu \(\displaystyle{ k[x]\subseteq K[x]}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ f(x)\in k[x]}\) będzie wielomianem. Rozłóżmy go w \(\displaystyle{ K[x]}\) na iloczyn wielomianów stopni jeden i weźmy pod uwagę krotności:
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-\alpha_1)^{k_1}...(x-\alpha_m)^{k_m}}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ f(x)=\overline{\sigma}(f(x))=\overline{\sigma}(a)(\overline{\sigma}(x-\alpha_1))^{k_1}...(\overline{\sigma}(x-\alpha_m))^{k_m}}\)
\(\displaystyle{ =a(x-\sigma(\alpha_1))^{k_1}...(x-\sigma(\alpha_m))^{k_m}}\)
Stąd widać, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ f(x)}\) o krotności \(\displaystyle{ r}\), to \(\displaystyle{ \sigma(\alpha)}\) też jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ f(x)}\) o krotności \(\displaystyle{ r}\).
1). Niech \(\displaystyle{ z_0}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(z)=a_nz^n+...+a_1z+a_0}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_n\in \mathbb{R}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ z_0\in \mathbb{R}}\), to teza jest oczywista. Załóżmy, że \(\displaystyle{ z_0\not \in \mathbb{R}}\). Wtedy \(\displaystyle{ z_0\neq \overline{z_0}}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 0=\overline{w(z_0)}=\overline{a_n}\overline{z_0^n}+...+\overline{a_1}\overline{z_0}+\overline{a_0}=}\)
\(\displaystyle{ =a_n\overline{z_0}^n+...+a_1\overline{z_0}+a_0=w(\overline{z_0})}\)
Zatem \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) też jest pierwiatkiem. Stąd \(\displaystyle{ w(z)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ q(z)=(z-z_0)(z-\overline{z_0})=z^2-(z_0+\overline{z_0})z+z_0\overline{z_0}}\). Widać, że:
\(\displaystyle{ q(z)=z^2-(z_0+\overline{z_0})z+z_0\overline{z_0}}\) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Stąd możemy zapisać:
\(\displaystyle{ w(z)=q(z)p(z)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p(z)}\) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Z tego, że \(\displaystyle{ z_0}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ w(z)}\) i \(\displaystyle{ 1}\)-krotnym pierwiatkiem \(\displaystyle{ q(z)}\) wynika, że jest \(\displaystyle{ k-1}\)-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ p(z)}\).
Stosując indukcję po \(\displaystyle{ k}\) dostajemy, że:
\(\displaystyle{ q(z)^{k-1}|p(z)}\)
czyli \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) jest \(\displaystyle{ k-1}\)-krotnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ p(z)}\). Czyli jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ w(z)=q(z)p(z)}\)
2) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie ciałem oraz \(\displaystyle{ K}\) będzie jego algebraicznym domknięciem. Weźmy \(\displaystyle{ \sigma:K\rightarrow K}\) autmorfizm \(\displaystyle{ K}\), który działa identycznościowo na \(\displaystyle{ k}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sigma}\) indukuje na \(\displaystyle{ K[x]}\) automorfizm zadany przez:
\(\displaystyle{ \overline{\sigma}(a_nx^n+...+a_1x+a_0)=\sigma(a_n)x^n+...+\sigma(a_1)x+\sigma(a_0)}\)
dla \(\displaystyle{ a_0,...,a_n\in K}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \overline{\sigma}}\) działa identycznościowo na podpierścieniu \(\displaystyle{ k[x]\subseteq K[x]}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ f(x)\in k[x]}\) będzie wielomianem. Rozłóżmy go w \(\displaystyle{ K[x]}\) na iloczyn wielomianów stopni jeden i weźmy pod uwagę krotności:
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-\alpha_1)^{k_1}...(x-\alpha_m)^{k_m}}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ f(x)=\overline{\sigma}(f(x))=\overline{\sigma}(a)(\overline{\sigma}(x-\alpha_1))^{k_1}...(\overline{\sigma}(x-\alpha_m))^{k_m}}\)
\(\displaystyle{ =a(x-\sigma(\alpha_1))^{k_1}...(x-\sigma(\alpha_m))^{k_m}}\)
Stąd widać, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ f(x)}\) o krotności \(\displaystyle{ r}\), to \(\displaystyle{ \sigma(\alpha)}\) też jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ f(x)}\) o krotności \(\displaystyle{ r}\).