Znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że ...

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Milena233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 paź 2015, o 18:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że ...

Post autor: Milena233 »

Ktoś mógłby pomóc?

Znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że \(\displaystyle{ z^4=-81i}\).
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że ...

Post autor: NogaWeza »

Z czym problem? Można łatwo to zrobić ze wzoru de Moivre'a, bo przecież szukamy pierwiastków 4 stopnia z \(\displaystyle{ -81i}\)
Milena233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 paź 2015, o 18:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Znajdź wszystkie liczby zespolone takie, że ...

Post autor: Milena233 »

\(\displaystyle{ -81i=81 \left( \cos \frac{3 \pi}{2}+i\sin \frac{3 \pi}{2} \right) \\[1ex]
\sqrt[4]{-81i} \in \left\{ 81^{\frac{1}{4}} \left( \cos \frac{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4}+i \sin \frac{\frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4} \right) , k \in \{ 0,1,2,3 \} \right\} \\[1ex]
\mathrm{Arg} \, \left( \sqrt[4]{-81i} \right) \in \left\{ \frac{3}{8} \pi, \frac{7}{8} \pi, \frac{11}{8} \pi, \frac{15}{8} \pi \right\}}\)


Tak? I co dalej?

Czy może wystarczy jak zapiszę, że \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-81i} \in \left\{ 81^{\frac{1}{4}} \left( \cos \frac{ \frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4}+i \sin \frac{\frac{3 \pi}{2}+2k \pi}{4} \right) , k \in \left\{ 0,1,2,3 \right\} \right\}}\).
Ostatnio zmieniony 3 lip 2016, o 22:08 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ