pierwiastki i współczynniki wielomianu

[bakteria]

Zadanko z którym mam problem, prezentuje się następująco:
1a.
Niech wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3} + ax^{2} + bx + c}\)
o wszystkich współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}}\) = 3 , \(\displaystyle{ x_{2}}\) = 3 - 2i .
Czemu musi się równać trzeci pierwiastek W(x)? Dlaczego?
1b.
wyznacz współczynniki wielomianu W(x).

Z góry dziękuję za każdą pomoc

[piasek101]

1a) Poszukać twierdzenia o zespolonym pierwiastku wielomianu którego współczynniki są rzeczywiste.

1b) Po powyższym będziesz miał trzy pierwiastki (zatem i postać iloczynową).

[bakteria]

Nie jestem pewien czy dobrze zrozumiałem:
1a.
Mam skorzystać z zasadniczego twierdzenia algebry, tak? W ten sposób trzecim pierwiastkiem będzie liczba zespolona sprzężona do \(\displaystyle{ x_{2}= 3 - 2i}\) czyli \(\displaystyle{ x_{3}= 3+2i}\) ?

EDIT:
Odp. Pierwiastki nierzeczywiste wielomianów o wspólczynnikach rzeczywistych tworzą pary: \(\displaystyle{ x.\overline{x}}\). Wynika to stad, ze jeśli rozważymy wielomian sprzężony, to jego współczynniki, jako liczby rzeczywiste, się nie zmienią. <<< - tak powinna brzmieć odpowiedź na pytanie "Dlaczego?"

1b.
Podstawiając pierwiastki
W(\(\displaystyle{ x_{1}}\))=0
W(\(\displaystyle{ x_{2}}\))=0
W(\(\displaystyle{ x_{3}}\))=0
otrzymam układ równań z trzema niewiadomymi, z których wyliczę sobie dalej poszczególne współczynniki?

[piasek101]

1a) Tak.
Dlaczego - poszukaj jakiegoś dowodu.

1b) Tak.
Albo zapisz wielomian w postaci iloczynowej (bo masz pierwiastki) i porównaj obie postacie.