Dziwne zadania z potęgami

[krynol]

Witam.
Mam do rozwiązania trzy zadania z potęgami. Koniecznie muszę je rozwiązać, niestety nie mam pojęcia jak to zrobić.
Próbowałem wzorem de moivre'a, jednak pogubiłem się w trakcie.

Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \left( \sin \frac{\pi}{18} - i \cos \frac{\pi}{18} \right)^{2013} \\[2ex]
\left( \cos \frac{\pi}{18} - i \sin \frac{\pi}{18} \right)^{2013} \\[2ex]
\left( \cos \frac{\pi}{18} + i \sin \frac{\pi}{18} \right)^{2013}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left( \sin \frac{ \pi }{18}-i \cos \frac{ \pi }{18}\right) ^{2013}=
\left( \cos\left( \frac{ 3\pi }{2} + \frac{ \pi }{18}\right) +i \sin \left( \frac{3 \pi }{2} + \frac{ \pi }{18}\right)\right) ^{2013}=\\=
\left( \cos \frac{ 14\pi }{9}+i \sin \frac{ 14\pi }{9}\right) ^{2013}=
\cos \frac{ 28182\pi }{9}+i \sin \frac{ 28182\pi }{9}=\cos\left( 1565 \cdot 2 \pi + \frac{ \pi }{43} \right) +\\+i \sin \left(1565 \cdot 2 \pi + \frac{ 4\pi }{3} \right)=\cos \frac{ 4\pi }{3} +i \sin \frac{ 4\pi }{3} =- \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} }\)

Kolejne zrób samodzielnie.

[macik1423]

Można pierwsze tak:
\(\displaystyle{ \left(\sin\frac{\pi}{18}-i\cos\frac{\pi}{18}\right)^{2013}=\left[i\left(\frac{\sin\frac{\pi}{18}}{i}-\cos\frac{\pi}{18}\right)\right]^{2013}=\left[-i\left(\cos\frac{\pi}{18}+i\sin\frac{\pi}{18}\right)\right]^{2013}=(-i)^{2013}\left(\cos\frac{2013\pi}{18}+i\sin\frac{2013\pi}{18}\right)=\\=-i\left(\cos\left(111\pi+ \frac{15\pi}{18}\right)+i\sin\left(111\pi+ \frac{15\pi}{18}\right)\right)=-i\left(\cos\left(\pi+\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(\pi+\frac{5}{6}\pi\right)\right)=\\=-i\left(\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)=-i\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)=-i\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}\)

[krynol]

\(\displaystyle{ \left( \sin \frac{ \pi }{18}-i \cos \frac{ \pi }{18}\right) ^{2013}=
\left( \cos \left( \frac{ 3\pi }{2} + \frac{ \pi }{18}\right) +i \sin \left( \frac{3 \pi }{2} + \frac{ \pi }{18}\right)\right) ^{2013}=\\=
\left( \cos \frac{ 14\pi }{9}+i \sin \frac{ 14\pi }{9}\right) ^{2013}=
\cos \frac{ 28182\pi }{9}+i \sin \frac{ 28182\pi }{9}=\cos \left( 1565 \cdot 2 \pi + \frac{ \pi }{43} \right) +\\+i \sin \left(1565 \cdot 2 \pi + \frac{ 4\pi }{3} \right)=\cos \frac{ 4\pi }{3} +i \sin \frac{ 4\pi }{3} =- \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Kolejne zrób samodzielnie.

hmm mógłbyś mi wytłumaczyć w jaki sposób zamieniasz wartość \(\displaystyle{ \cos}\) na \(\displaystyle{ \sin}\)? (\(\displaystyle{ \sin -i\cos \ \ >>>\ \ \cos + i\sin}\))
Dalsza część jest zrozumiała dla mnie.

[kerajs]

Korzystam z wzorów redukcyjnych.
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right) =\cos \alpha \wedge \cos \left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right) =\sin \alpha \\
\sin \left( \frac{ \pi }{2}+ \alpha \right) =\cos \alpha \wedge \cos \left( \frac{ \pi }{2}+ \alpha \right) =-\sin \alpha \\

\sin \left( \pi - \alpha \right) =\sin \alpha \wedge \cos \left( \pi - \alpha \right) =-\cos \alpha \\
\sin \left( \pi + \alpha \right) =-\sin \alpha \wedge \cos \left( \pi + \alpha \right) =-\cos \alpha \\


\sin \left( \frac{3 \pi }{2}- \alpha \right) =-\cos \alpha \wedge \cos \left( \frac{ 3\pi }{2}- \alpha \right) =-\sin \alpha \\
\sin \left( \frac{3 \pi }{2}+ \alpha \right) =-\cos \alpha \wedge \cos \left( \frac{3 \pi }{2}+ \alpha \right) =\sin \alpha \\

\sin \left( - \alpha \right) =-\sin \alpha \wedge \cos \left( - \alpha \right) =\cos \alpha}\)

Oczywiście nie musisz ich znać na pamięć, ale korzystać z licealnego wierszyka o znakach sinusa i kosinusa w poszczególnych ćwiartkach.