Dowód - funkcja eksponencjalna

[ChceSieNauczyc]

Mam pytanie odnośnie dowodu dla jednej z własności funkcji eksponencjalnej. Otóż mam w książce poniższą własność:

\(\displaystyle{ \left| e^{\lambda t}\right| =e^{\alpha t}}\)

gdzie wcześniej w definicj mam podane, że \(\displaystyle{ e^{\lambda t} =e^{\alpha t}(\cos \beta t +i\sin \beta t)}\)

I teraz w dowodzie podanej wcześniej własności mam jedynie podaną uwagę,

\(\displaystyle{ \left|e^{\alpha t}(\cos \beta t +i\sin \beta t)\right|= e^{\alpha t}}\) , ponieważ \(\displaystyle{ \cos ^{2}\beta t+ \sin ^{2}\beta t =1}\)

I niestety, ale nie rozumiem jak to kończy dowód. Czy ktoś mógłby to rozpisać lub wytłumaczyć jaśniej?

[matmatmm]

Ile wynosi \(\displaystyle{ \left| \cos x +i\sin x\right|}\) ? (\(\displaystyle{ x\in \RR}\))

[ChceSieNauczyc]

Ile wynosi \(\displaystyle{ \left| \cos x +i\sin x\right|}\) ? (\(\displaystyle{ x\in \RR}\))

Jedyne co mi się kojarzy z \(\displaystyle{ \sin x}\) czy \(\displaystyle{ \cos x}\) to, że można je oszacować z góry przez 1, bo ich wartości zawierają się od -1 do 1. Ale to chyba nie o to ci chodziło. Nie wiem

Ah, wiem. Nie chodziło ci o dokładną wartość tylko o taką równość, tak?

\(\displaystyle{ \left| \cos x +i\sin x\right|=e^{ix}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \left| \cos x +i\sin x\right|=e^{ix}}\)

To zazwyczaj nie jest prawda.
Masz policzyć moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ \cos x+i \sin x}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Czyli jej część rzeczywista to \(\displaystyle{ \cos x}\), a część urojona to \(\displaystyle{ \sin x}\). Jak definiujemy moduł liczby zespolonej?

[ChceSieNauczyc]

Ah, ok. Modul liczby zespolonej to:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{(Rex)^{2}+(Imx)^{2}}}\)

I stad wychodzi mi ta zaleznosc ktora jest w podpowiedzi.. okej. Juz. Widze. Dziekuje

[Premislav]

Proszę bardzo.