Pierwiastki n stopnia z liczby zespolonej

lasq · Post autor: **lasq** » 16 cze 2016, o 15:41

Należy wyznaczyć wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby z
$\displaystyle{ z=3-4i \\
n=2}$
Wzór na pierwiastki
$\displaystyle{ w= \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \frac{ \phi+2k \pi}{n}+i \cdot \sin \frac{ \phi+2k \pi}{n} \right)}$
Nie mogę przedstawić tej liczby w postaci trygonometrycznej bo wychodzi mi
$\displaystyle{ |z|=5}$
$\displaystyle{ \sin \phi=- \frac{4 \pi }{5}}$
$\displaystyle{ \cos \phi=\frac{3 \pi }{5}}$
Wiem jedynie że kąt leży w IV ćwiartce

Premislav · Post autor: **Premislav** » 16 cze 2016, o 15:46

O rany, argument kątowy odpowiadający tym wartościom był moim koszmarem na pierwszym semestrze studiów. Ale jeśli $\displaystyle{ n=2}$, to można do sprawy podejść algebraicznie:
zapisujesz $\displaystyle{ (x+iy)^{2}=3-4i}$, wykonujesz potęgowanie po lewej stronie, po czym porównujesz oddzielnie część rzeczywistą i urojoną.

-- 16 cze 2016, o 14:47 --

To daje układ równań na $\displaystyle{ x,y}$.

-- 16 cze 2016, o 14:51 --

A co do wyliczenia dokładnej wartości tego argumentu kątowego, to nie sądzę, żeby było to możliwe, co najwyżej można to zapisać jako np. arcus tangens dla odpowiedniej wartości, ale to nie doprowadzi Cię raczej do rozwiązania zadania (bo zazwyczaj oczekiwane są wyniki w postaci algebraicznej).

Post autor: **Dasio11** » 19 cze 2016, o 10:42

W rozwiązaniu trzeciego problemu Hilberta Max Dehn udowodnił fakt, że $\displaystyle{ \arccos \frac{1}{3}}$ nie jest wymierną wielokrotnością $\displaystyle{ \pi.}$ Podobnej techniki można użyć do pokazania, że kąt liczby $\displaystyle{ 3-4i}$ nie jest wymierną wielokrotnością $\displaystyle{ \pi.}$

Niech $\displaystyle{ \varphi}$ będzie kątem liczby $\displaystyle{ 3-4i.}$ Udowodnimy najpierw przez indukcję, że dla $\displaystyle{ n \ge 0}$ jest $\displaystyle{ \cos n \varphi = \frac{a_n}{5^n},}$ gdzie $\displaystyle{ a_n}$ jest liczbą całkowitą niepodzielną przez $\displaystyle{ 5.}$

$\displaystyle{ \bullet \ \cos 0 \varphi = 1 = \frac{1}{5^0}}$ i $\displaystyle{ a_0 = 1}$ nie dzieli się przez $\displaystyle{ 5.}$

$\displaystyle{ \bullet \ \varphi}$ jest kątem $\displaystyle{ 3-4i,}$ więc $\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{3}{5}}$ i $\displaystyle{ a_1 = 3}$ nie dzieli się przez $\displaystyle{ 5.}$

$\displaystyle{ \bullet}$ Załóżmy, że $\displaystyle{ n \ge 0}$ i teza jest prawdziwa dla liczb $\displaystyle{ \le n+1.}$ Wtedy

$\displaystyle{ $ \begin{align*}
\cos \big[ (n+2) \varphi \big] & + \cos n \varphi = 2 \cos \varphi \cos \big[ (n+1) \varphi \big] \\[1ex]
\cos \big[ (n+2) \varphi \big] & = 2 \cos \varphi \cos \big[ (n+1) \varphi \big] - \cos n \varphi = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{a_{n+1}}{5^{n+1}} - \frac{a_n}{5^n} = \frac{6 a_{n+1} - 25 a_n}{5^{n+2}}
\end{align*} $}$

$\displaystyle{ a_{n+2} = 6 a_{n+1} - 25 a_n \equiv a_{n+1} \pmod{5},}$

co kończy dowód.

Załóżmy teraz nie wprost, że $\displaystyle{ \varphi = \frac{m}{n} \cdot \pi,}$ gdzie $\displaystyle{ m, n \in \ZZ}$ i $\displaystyle{ n > 0.}$ Wówczas

$\displaystyle{ \cos (n \varphi) = \cos (m \pi) = (-1)^m \in \ZZ}$

ale jednocześnie

$\displaystyle{ \cos (n \varphi) = \frac{a_n}{5^n} \notin \ZZ.}$

Sprzeczność.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 cze 2016, o 17:25

lasq pisze: $\displaystyle{ \sin \phi=- \frac{4 \pi }{5}}$
$\displaystyle{ \cos \phi=\frac{3 \pi }{5}}$
Wiem jedynie że kąt leży w IV ćwiartce

Mnie na wojsku uczyli, że w warunkach bojowych sinus może nawet przybierać wartość $\displaystyle{ 9}$. Ale na razie mamy pokój, więc chyba coś nie jest tak

Post autor: **Dasio11** » 19 cze 2016, o 17:32

No pewnie, przecież

$\displaystyle{ \sin \left[ \frac{\pi}{2} + i \cdot 2 \ln \left( 2 + \sqrt{5} \right) \right] = 9}$

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 cze 2016, o 18:41

Dasio11 pisze:No pewnie, przecież

$\displaystyle{ \sin \left[ \frac{\pi}{2} + i \cdot 2 \ln \left( 2 + \sqrt{5} \right) \right] = 9}$

A... Rozumiem. Mamy urojonego wroga, mamy urojoną wojnę, antek zbiera żniwo nawet w matematyce