Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 8}\) o współczynnikiach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 5 \,i \,3}\) o wsp. rzeczywistych? Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 6}\) o współczynnikiach zespolonych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 4\, i\, 2}\) o wsp. zespol?
Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 5}\) o współczynnikiach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 3 \,i \,2}\) o wsp. rzeczywistych? Czy każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 8}\) o współczynnikiach zespolonych jest iloczynem wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 5 \,i \,3}\) o wsp. zespol?
wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych
Może taki przykład do 1:
\(\displaystyle{ P(x)=2,\; Q(x)=x^8\\W(x)=P(x)Q(x)=2x^8}\)
założenia spełnia, a jak widać nie jest iloczynem wielomianów st. 3 i 5. Dla pozostałych też można poszukać kontrprzykładów.
[ Dodano: 4 Września 2007, 21:48 ]
Chyba, że by było pytanie "Czy każdy wielomian... można przedstawić w takiej postaci, aby był iloczynem wielomianów...". To wtedy odp. jest twierdząca.
\(\displaystyle{ P(x)=2,\; Q(x)=x^8\\W(x)=P(x)Q(x)=2x^8}\)
założenia spełnia, a jak widać nie jest iloczynem wielomianów st. 3 i 5. Dla pozostałych też można poszukać kontrprzykładów.
[ Dodano: 4 Września 2007, 21:48 ]
Chyba, że by było pytanie "Czy każdy wielomian... można przedstawić w takiej postaci, aby był iloczynem wielomianów...". To wtedy odp. jest twierdząca.
-
- Użytkownik
- Posty: 126
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych
mam odpowiedzi, ale nie wiem dlaczego tak
otóż:
nie, tak
tak, tak
w drugim niby też mozna kontrprzyklad, a jednak odpowiedz jest 'tak'
otóż:
nie, tak
tak, tak
w drugim niby też mozna kontrprzyklad, a jednak odpowiedz jest 'tak'
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Nie każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek rzeczywisty.
Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów pierwszego stopnia o współczynnikach zespolonych.
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż drugi.
Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem o stopniu równym sumie stopni tych dwóch wielomianów.
edit: Co do uwagi Drizzta, to pozwoliłem sobie niecnie założyć (ale chyba w duchu treści zadania), że mówimy o dwóch pierścieniach wielomianów: o współczynnikach zespolonych i o współczynnikach rzeczywistych. Ogólnie nie czuję się mocny z algebry, ale mam nadzieję, że nigdzie nie dokonałem matematycznej zbrodni.
Pozdrawiam
Nie każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek rzeczywisty.
Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów pierwszego stopnia o współczynnikach zespolonych.
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż drugi.
Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem o stopniu równym sumie stopni tych dwóch wielomianów.
edit: Co do uwagi Drizzta, to pozwoliłem sobie niecnie założyć (ale chyba w duchu treści zadania), że mówimy o dwóch pierścieniach wielomianów: o współczynnikach zespolonych i o współczynnikach rzeczywistych. Ogólnie nie czuję się mocny z algebry, ale mam nadzieję, że nigdzie nie dokonałem matematycznej zbrodni.
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2007, o 00:09 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
wielomian o wsp. rzeczywistych/zespolonych
To jeszcze zależy w jakim pierścieniu; )max pisze:Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem o stopniu równym sumie stopni tych dwóch wielomianów.
edit: jasne że nie żadna zbrodnia, tak tylko jako ciekawostke pisze. Mnie zawsze takie niuanse interesowały. Np
\(\displaystyle{ (2x^3+1) 3x^2=3x^2}\)
[w \(\displaystyle{ Z_6}\)]