wielomian zespolony

[blade]

Wiedząc, że
\(\displaystyle{ z_0 = \frac{(-2+2i)^{14}}{(\sqrt{3}-i)^{14}}}\) jest pierwiastkiem, rozwiąż równanie.

\(\displaystyle{ w(z)=z^3 +5iz^2+28z+32i=0}\)

LICZNIK:    

\(\displaystyle{ z_1= -2+2i \\ |z_1|=2\sqrt{2} \rightarrow \varphi = \frac{3}{4}\pi}\)

\(\displaystyle{ (2\sqrt{2})^{14}\left(\cos\left( \frac{3}{4}\pi\right) +i\sin\left( \frac{3}{4}\pi\right) \right)^{14} = (2\sqrt{2})^{14}\left( \cos\left( \frac{42}{4}\pi\right) +i\sin\left( \frac{42}{4}\pi\right)\right) = (2\sqrt{2})^{14}\left( \cos\left( \frac{1}{2}\pi\right) +i\sin\left( \frac{1}{2}\pi\right)\right) = (2\sqrt{2})^{14}i}\)

MIANOWNIK:    

\(\displaystyle{ z_2 =\sqrt{3}-i) \\ |z_2| = 2 \rightarrow \varphi = \frac{11}{6}\pi}\)

\(\displaystyle{ 2^{14}\left( \cos\left( \frac{11}{6}\pi\right) +i\sin\left( \frac{11}{6}\pi\right) \right) ^{14} = 2^{14}\left( \cos\left( \frac{154}{6}\pi\right) -i\sin\left( \frac{154}{6}\pi\right)\right)= 2^{14}\left( -\cos\left( \frac{2\pi}{3}\right) -i\sin\left( \frac{2\pi}{3}\right) \right)= 2^{14}\left( \cos\left( \frac{1}{3}\pi\right) -i\sin\left( \frac{1}{3}\pi\right)\right) = 2^{14}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}\)

\(\displaystyle{ z_0 = 64(-\sqrt{3}+i)=-64\sqrt{3}+64i}\)

Teraz wiem, że \(\displaystyle{ z-z_0}\) jest jednym z pierwiastków, więc dzielę \(\displaystyle{ w(z):(z-z_0)}\), dostaje wielomian kwadratowy i wyliczam miejsca zerowe...
Tylko, że dzielenie schematem Hornera jest trochę pracochłonne... (ze względu na ten pierwiastek), szukam szybszego sposobu, jakieś twierdzenie albo coś ? (Chyba było coś w stylu, jeśli współczynniki wielomianu są rzeczywiste to sprzężenie pierwiastka wielomianu też jest pierwiastkiem, co i tak odpada, bo nie mamy tylko rzeczywistych współczynników, ale tak ono brzmiało?)

[nejfan]

Sprawdź czy przypadkiem mianownik nie powinien być do potęgi 18 ponieważ przed chwilą robiłem dokładnie to samo zadanie przygotowując się do egzaminu.

[blade]

Możliwe, bo rozmazane zdjęcie mam, dzięki^^