Sprawdź czy liczba z należy do zbioru

[awpg]

Zadanie mam rozwiązane, ale końcówka wydaje mi się nie ładna, nie zakończona w sposób zgodny z zapisem matematycznym, dlatego liczę na pomoc, w tym jak to przerobić. (nie podoba mi się czerwony fragment i to co z niego wynika).

Treść zadania: Sprawdź czy liczba \(\displaystyle{ z = \frac{3 - i }{(1- (\sqrt{3}))^{5}}}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ z\in \CC: |2 + i - z | \ge | z - 1|}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ |2 + i - z| \ge | z - 1| \\
|2 + i - x - yi | \ge | x + y i - 1| \\
|2 - x + i ( 1 - y) | \ge | x - 1 + y i|\\
\sqrt{ (2 - x)^{2} + (1 - y)^{2} }\ge \sqrt{ (x - 1)^{2} + y^{2} } \\
\sqrt{ 4 - 2x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2} }\ge \sqrt{ x^{2}- 2x + 1 + y^2}}\)
\(\displaystyle{ 5 - 2x + x ^{2} - 2 y + y^{2} \ge x^{2}- 2x + 1 + y^{2} \\
4 - 2x + x^{2} - x^{2} + 2x \ge y^{2}+ 2 y - y^{2} \\
4 \ge 2 y \\
2 \ge y}\)

\(\displaystyle{ y = Im}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{3 - i }{(1- (\sqrt{3}))^{5}} \\
Im =- \frac{1}{(1- \sqrt{3}))^{5}}}\)

z trójkąta Pascala

\(\displaystyle{ = 1 - 5 \sqrt{3} + 30 - 10 \sqrt{3}^{3} + 5 \sqrt{3}^{4} - \sqrt{3}^{5} = 1 - 5 \sqrt{3} + 30 - 30 \sqrt{3} + 45 - 9 \sqrt{3} = 76 - 44 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ Im = - \frac{1}{76 - 44 \sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{76 - 44 \sqrt{3}} \le 2 \\
1 \le - 152 + 88\sqrt{3} \\
153 \le 88\sqrt{3} \\
1 \le - 152 + 88\sqrt{3} \\
\red{ \sqrt{3} \approx 1,732} \\
153 \le 152,416}\)

Z góry dziękuję

Przepraszam, już nie mam pytań, czasem na najprostsze rozwiązania najtrudniej wpaść Poprawione zadanie zostawiam, może komuś się przyda

\(\displaystyle{ 153 \le 88\sqrt{3} / ^{2} \\
23409 \le 23232}\)

A więc liczba z nie spełnia równania

[a4karo]

Muszę cię rozczarować:

\(\displaystyle{ |2 + i - z| \ge | z - 1| \\ |2 + i - x - yi | \ge | x + y i - 1| \\ |2 - x + i ( 1 - y) | \ge | x - 1 + y i|\\ \sqrt{ (2 - x)^{2} + (1 - y)^{2} }\ge \sqrt{ (x - 1)^{2} + y^{2} } \\ \sqrt{ \red{ 4 - 2x + x^{2}} + 1 - 2 y + y^{2} }\ge \sqrt{ x^{2}- 2x + 1 + y^2}}\)

Tu jest błąd

[awpg]

a4karo, Przepraszam, może to głupie pytanie, ale cały czas szukam błędu w tym miejscu i niestety nic nie widzę... Wiem, że pokazałeś dość dokładnie co jest nie tak, ale możesz jeszcze dokładniej żebym to zauważyła?
Przepraszam za kłopot

[Benny01]

Powinno być \(\displaystyle{ -4x}\)

[awpg]

No tak to przecież oczywiste, przepraszam, zmęczenie materiału już chyba :/ dziękuje