Witam i z góry dziękuję za pomoc, mam ogromny problem z następującym zadaniem (pochodzi ono z książki Adama Neugebauera "Algebra i teoria liczb"):
Łamana (płaska) \(\displaystyle{ A_{0}}\)\(\displaystyle{ A_{1}}\)...\(\displaystyle{ A_{n+1}}\) spełnia warunki \(\displaystyle{ \left| A_{0}A_{1}\right| > \left| A_{1}A_{2}\right| > ... > \left| A_{n}A_{n+1}\right|}\) i \(\displaystyle{ m(\angle A_{0}A_{1}A_{2})=m(\angle A_{1}A_{2}A_{3})=...=m(\angle A_{n-1}A_{n}A_{n+1})}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ A_{0} \neq A_{n+1}}\).
Zadanie to umieszczono w dziale z liczbami zespolonymi i umieszczono przy nim następującą wskazówkę:
Oznaczmy \(\displaystyle{ a_{k} = \left| A_{k}A_{k+1}\right|}\) i \(\displaystyle{ z = \cos \phi + i \sin \phi}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi = m ( \angle A_{0}A_{1}A_{2})}\). Wówczas, jeżeli punkt \(\displaystyle{ A_{0}}\) utożsamimy z liczbą zespoloną 0, to \(\displaystyle{ A_{n+1}}\) utożsamia się z liczbą zespoloną \(\displaystyle{ a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ... + a_{n}z^{n}}\).
Sugeruje to istnienie prostszego (choć to oczywiście kwestia względna) rozwiązania opartego na użyciu liczb zespolonych niż rozwiązywanie czysto geometryczne. Niestety dotychczas (mimo wielu prób) nie udało mi się go znaleźć. Próbowałem następujących metod podejścia do problemu (próbując je oczywiście ze sobą łączyć):
- pokazywanie, że moduł wyrażenia \(\displaystyle{ a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ... + a_{n}z^{n}}\) jest niezerowy
- indukcja względem stopnia wielomianu \(\displaystyle{ a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ... + a_{n}z^{n}}\)
- osobne obliczenie części rzeczywistej oraz urojonej tego wielomianu i pokazanie, że obie jednocześnie nie mogą się wyzerować
- pokazywanie, że dla dowolnego wielomianu o współczynnikach rzeczywistych (oznaczmy go jako \(\displaystyle{ P(x)}\)) i wielomianu \(\displaystyle{ F(x)=(x-z)(x-\overline{z})}\) wielomian \(\displaystyle{ P(x) \cdot F(x)}\) nie jest wielomianem, którego współczynniki tworzą malejący ciąg dodatnich liczb rzeczywistych
- korzystanie z przekształcenia Abela
- zapisanie wielomianu jako \(\displaystyle{ 1 + r_{1}z + r_{1}r_{2}z^{2} + ... + r_{1}...r_{n}z^{n}}\), gdzie liczby \(\displaystyle{ r_{1}, ..., r_{n}}\) są większe od zera, ale mniejsze od 1 (można przyjąć, że wielomian ma taką postać, gdyż wystarczy podzielić obie strony wyrażenia \(\displaystyle{ a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ... + a_{n}z^{n} \neq 0}\) przez \(\displaystyle{ a_{0}}\), aby zobaczyć, że tak postawiony problem jest równoważny tezie zadania)
Jak dotąd wszystkie te metody mnie zawiodły (zapewne robię coś źle, gdyż nie sądzę, by to zadanie wymagało użycia takich narzędzi jak np. przekształcenie Abela) i jestem już mocno zmęczony tym problemem, więc każda otrzymana forma pomocy będzie dla mnie wielkim powodem do radości. Mam pewne rozwiązanie geometryczne problemu, jednak preferowałbym podejście algebraiczne, dlatego umieszczam ten temat w takim dziale.
Jeśli temat dotyczący tego zadania już istnieje, będę wdzięczny za link (szukałem go na forum, ale nie znalazłem).