Wykazać równość

[4neta]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Korzystając ze wzoru Moivre'a wykazać, że
\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \ldots + \sin nx = \frac{\sin \frac{1}{2}(n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x} \\
\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \ldots + \cos nx = \frac{\cos \frac{1}{2}(n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}\)

Autorzy odsyłają do zadania z pierwszego działu, które jest podobne i które wykazuje się za pomocą indukcji matematycznej. Ponieważ nie wiedziałam w jaki sposób mam użyć wzoru Moivre'a, postanowiłam spróbować/zacząć od metody indukcji.

Sprawdzam wzór dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{\sin 1 \sin \frac{1}{2}x }{\sin \frac{1}{2}x}}\)

Moim zdaniem nie ma to sensu. Wynika z tego, że \(\displaystyle{ x=1}\), a \(\displaystyle{ x}\) nie powinno być stałe.
Czyżby znowu zdarzył się błąd w druku i powinno być \(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{1}{2} {\red x } (n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\cos \frac{1}{2} {\red x } (n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}\)?
I oczywiście przy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{2} x (n+1)}\) argumentem funkcji sinus jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x (n+1)}\)? Dla braku wątpliwości zapisywałabym \(\displaystyle{ \sin \Bigl( \frac{1}{2} x (n+1)\Bigr)}\) albo \(\displaystyle{ sin \frac{x (n+1)}{2}}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[Premislav]

I oczywiście przy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{2} x (n+1}\)) argumentem funkcji sinus jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x(n+1)}\) ?

Tak. Masz rację, że taki zapis, jak proponujesz, byłby czytelniejszy.



Przy czym jako że nie przepadam za indukcją, to osobiście robiłbym to tak:
ze wzoru Eulera mamy \(\displaystyle{ e^{i\phi}=\cos \phi +i \sin \phi}\). Zatem:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin (2x)+...+\sin(nx)=\Im e^{ix}+ \Im e^{2ix}+...+\Im e^{nix}=\Im\left( e^{ix}+...+e^{inx}\right)}\)
oraz analogicznie:
\(\displaystyle{ \cos x+...+\cos(nx)=\Re(e^{ix}+...+e^{inx})}\)

Pozostaje zauważyć, że gdy \(\displaystyle{ x \neq 2k\pi}\) (nie jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 2\pi}\)), to
\(\displaystyle{ e^{ix}+...+e^{inx}= \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}-1}\)
ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, a następnie przyrównać
odpowiednie części rzeczywiste i urojone.

Zaś dla wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\) to wszystko jest trywialne.

-- 8 cze 2016, o 14:23 --

Jest też inne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ sin x + \sin 2x + \sin 3x + \ldots + \sin nx= \frac{1}{\sin \frac x 2}\left(\sin \frac x 2 sin x +\sin \frac x 2 \sin 2x + \sin \frac x 2\sin 3x + \ldots +\sin \frac x 2 \sin nx\right)= \frac{1}{2\sin\left( \frac x 2\right) }\left(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}+\dots-\cos\left( \frac{(2n+1)x}{2} \right) \right)}\), gdyż \(\displaystyle{ 2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}\) (no i prawie wszystko się skraca)
oraz z
\(\displaystyle{ \cos x + \ldots + \cos nx}\)
można zrobić podobnie (tylko z sinusem sumy i różnicy).
W każdym razie wszystko lepsze niż (sr)indukcja.

[4neta]

Wielkie dzięki. Po długiej analizie i przypomnieniu sobie, że sinus jest funkcją nieparzystą i że \(\displaystyle{ - \sin \frac{1}{2}(-nx)=\sin \frac{1}{2}(nx)}\) wreszcie udało się zrobić to drugim sposobem (który przypadł mi do gustu).

Ale znowu okazuje się, że był błąd w druku i powinno być \(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{1}{2} {\red x } (n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{1}{2}x}}\), jak też mi wychodzi i jak wynika z Twoich podpowiedzi.

-- 9 cze 2016, o 02:15 --

Próbowałam również pierwszego sposobu i utknęłam przy...

Pozostaje zauważyć, że gdy \(\displaystyle{ x \neq 2k\pi}\) (nie jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 2\pi}\)), to
\(\displaystyle{ e^{ix}+...+e^{inx}= \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}-1}\)
ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, a następnie przyrównać odpowiednie części rzeczywiste i urojone.

Nie wiem jak "oddzielić" część urojoną od reszty w \(\displaystyle{ \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}-1}\). Czy dobrze myślę, że część urojona to \(\displaystyle{ \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}}\), a rzeczywista \(\displaystyle{ -1}\)? Mam znaleźć \(\displaystyle{ \sin x+\sin (2x)+...+\sin(nx)=\Im\left( e^{ix}+...+e^{inx}\right)=\Im\left(\frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)}\). Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ \Im\left(\frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)= \frac{\Im e^{(n+1)ix}-1}{\Im e^{ix}-1} = \frac{\sin x(n+1)-1}{\sin x -1}}\)? Wydaje mi się, że się grubo mylę. Może lepiej zakończę swoje rozważania w tym momencie.

[Premislav]

Ze wzoru de Moivre'a wynika, że \(\displaystyle{ (\cos x+i\sin x)^{k}=\cos(kx)+i\sin(kx)}\) dla \(\displaystyle{ k}\) naturalnych. I masz rację, że
jest to niejako to samo, co ten mój pierwszy sposób, tylko że inaczej zapisałem
\(\displaystyle{ \cos x+i\sin x}\)(jako \(\displaystyle{ e^{ix}}\)), \(\displaystyle{ \cos (nx)+i\sin(nx)}\) i tak dalej.

-- 9 cze 2016, o 01:23 --

Sorry, teraz widzę, że edytowałaś! To nie do końca tak. Już to rozpiszę, a potem idę spać:

\(\displaystyle{ \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}-1= \frac{\cos(n+1)x+i\sin(n+1)x-1}{\cos x+i\sin x-1}-1= \\=\frac{(\cos((n+1)x)+i\sin((n+1)x)-1)(\cos x-1-i\sin x)}{(\cos x-1)^{2}+\sin^{2}x}-1}\)
Teraz trzeba wymnożyć te rzeczy w liczniku i będzie można łatwo rozbić na część rzeczywistą i urojoną.

Pomnożyłem licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, tj. przez \(\displaystyle{ \cos x-1-i\sin x}\).
Aby w mianowniku dostać ten upragniony sinus połówkowego kąta, można wykonać potęgowanie z tym \(\displaystyle{ (\cos x-1)^{2}}\), skorzystać z jedynki trygonometrycznej, a następnie z własności
\(\displaystyle{ 1-\cos x=2 \sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\),
która w prosty sposób wynika ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i jedynki trygonometrycznej.

[4neta]

Super, zrobiłam wszystko tak, jak napisałeś.
Otrzymałam \(\displaystyle{ \Im (e ^{ix} + e ^{2ix} + \ldots + e ^{inx}) = \frac{{\blue \sin (n+1)x \cos x} - sin (n+1)x + 1 {\blue - \sin x \cos (n+1)x} + \sin x}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2} }}\).
Teraz kombinuję jak otrzymać docelową postać \(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{1}{2} x (n+1) \sin \frac{1}{2}nx }{\sin \frac{x}{2}}}\). Spróbuję przekształcić różnicę zaznaczoną na niebiesko.

-- 9 cze 2016, o 11:45 --

Mam \(\displaystyle{ \frac{{\blue \sin nx} - \sin (n+1)x + 1 + \sin x}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2} }}\). Po dalszych przekształceniach (wzory na sinus sumy i różnicy) pojawia mi się cosinus. Nie wiem co z nim zrobić.

[Premislav]

Może popełniam jakieś błędy rachunkowe, ale mnie trochę inaczej wychodzi:
mianowicie \(\displaystyle{ \Im(e^{ix}+\ldots+e^{nix})= \frac{\cos x \sin((n+1)x)-\sin((n+1)x)-\cos((n+1)x)\sin x+\sin x}{4\sin^{2} \frac{x}{2} }}\)

(w mianowniku miałaś \(\displaystyle{ 1+\sin^{2}x+\cos^{2}x-2\cos x, tj. 2(1-\cos x)}\), w liczniku nie wiem, skąd się wzięła jedynka)

Zatem teraz musimy jakoś sobie "wyprodukować" w liczniku \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}}\), aby skrócić to z mianownikiem. Niestety trzeba chyba znać trochę obmierzłych wzorów trygonometrycznych, ja je wkułem do matury, żeby nie tracić czasu na przeglądanie tablic i mi zostało.

Po pierwsze ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy \(\displaystyle{ \sin x=2\sin\left( \frac x 2\right)\cos\left( \frac x 2\right)}\). Wpisz to od razu wszędzie tam w liczniku, gdzie występuje \(\displaystyle{ \sin x}\).
Następnie:
\(\displaystyle{ \cos x \sin((n+1)x)-\sin((n+1)x)=(\cos x-1)\sin((n+1)x)=\\=2\sin^{2}\left( \frac x 2\right)\sin((n+1)x)}\)
OK, to teraz dzielisz licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 2\sin\left( \frac x 2\right)}\).

To już masz prawie taką postać, jak trzeba. Pokaż, co Ci wychodzi po tych przekształceniach, a w razie kolejnej "blokady" postaram się coś podpowiedzieć.

[4neta]

\(\displaystyle{ e^{ix}+\ldots+e^{nix}= \frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}-1= \frac{\cos(n+1)x+i\sin(n+1)x-1}{\cos x+i\sin x-1}-1= \\=\frac{(\cos((n+1)x)+i\sin((n+1)x)-1)(\cos x-1-i\sin x)}{(\cos x-1)^{2}+\sin^{2}x}-1= \\=\frac{(\cos((n+1)x)+i\sin((n+1)x)-1)(\cos x-1-i\sin x)}{2 \sin ^{2} \frac{x}{2} }-1}\)

Gdy mnożę trójmian przez trójmian: \(\displaystyle{ (\cos((n+1)x)+i\sin((n+1)x) {\blue -1})(\cos x {\blue -1} -i\sin x)}\) otrzymuję dziewięć czynników, w tym \(\displaystyle{ 1}\). Gdy traktuję je jak (chyba powinnam) liczby zespolone i stosuję wzór na iloczyn, to wciąż pojawia się \(\displaystyle{ 1}\).

Dalsze rachunki są tak szerokie... Jeśli nie wiadomo co nie gra z tymi informacjami, które podałam, to chyba sobie daruję i kolejny raz podziękuję. Jeden sposób na rozwiązanie już znam, a w drugim kłopot tkwi tylko w przekształceniu.

[Premislav]

To prawda, że \(\displaystyle{ 1}\) się pojawia, jesli wymnożysz te trójmiany, ale
zapomniałaś chyba, że liczymy \(\displaystyle{ \sin x+...+\sin(nx)=\Im(e^{ix}+...+e^{inx}}}\), czyli
część urojoną \(\displaystyle{ e^{ix}+...+e^{inx}}\), a więc "to, co stoi przy \(\displaystyle{ i}\)".
A Ty bierzesz niepotrzebnie pod uwagę tę jedynkę (ona się przyda, jak będziemy zwijać \(\displaystyle{ \Re(e^{ix}+...+e^{inx})=\cos x+...+\cos(nx)}\)), co dziwi mnie tym bardziej, że poza tym wybierasz same "dobre" wyrazy (tj. te, które rzeczywiście przynależą do części urojonej).

W mianowniku znowu upieram się, że powinno być \(\displaystyle{ 4\sin^{2}\frac x 2}\) - pisałem dlaczego.
Nie bardzo lubię takie rachunki z liczbami zespolonymi (to eufemizm), ale nie chciałem, żeby wyszło, że sprowadzam Cię na manowce, a potem sobie olewam temat.

[4neta]

Faktycznie, \(\displaystyle{ 1}\) w ogóle nie wchodzi do części urojonej. Co dziwne, rozdzieliłam to wyrażenie na część rzeczywistą i urojoną i \(\displaystyle{ 1}\) wpisałam i tu i tu. Dlatego oprócz \(\displaystyle{ 1}\) wybrałam właściwe wyrazy do części urojonej.

Rzeczywiście, w liczniku powinno być \(\displaystyle{ 4\sin^{2}\frac x 2}\). Umknęło mi mnożenie przez \(\displaystyle{ 2}\).

Myślę, że więcej problemów nie będzie. W najbliższym czasie, gdy odpocznę, dokończę to zadanie i myślę, że wtedy wszystko mi się wyklaruje i przyznam Ci rację.

-- 10 cze 2016, o 00:21 --

Już oprzytomniałam. Przecież gdy poprawię mianownik i usunę zbędną \(\displaystyle{ 1}\), to wychodzi nam to samo: \(\displaystyle{ \frac{\cos x \sin(n+1)x-\sin(n+1)x-\cos(n+1)x\sin x+\sin x}{4\sin^{2} \frac{x}{2} }}\). Po kolejnych przekształceniach dzielę mianownik przez \(\displaystyle{ 2\sin \frac {x}{2}}\) i dostaję \(\displaystyle{ \frac{ {\blue \sin \frac{x}{2} \sin (n+1)x - \cos (n+1)x \cos \frac{x}{2} } + \cos \frac{x}{2}} {2 \sin \frac{x}{2} }}\) i dla różnicy zaznaczonej na niebiesko stosuję wzór na cosinus sumy. Otrzymuję w liczniku różnicę cosinusów. Znowu stosuję wzór, otrzymuję upragniony iloczyn sinusów, ale niestety w takiej postaci: \(\displaystyle{ \frac{- \sin (n+2)x \sin (n-1)x }{\sin \frac{x}{2} }}\).
Wypadałoby też podziękować za cierpliwość. Oby była to ostatnia blokada.

[Premislav]

Patrzę, że też jakoś wychodził mi z Twojej postaci niepoprawny wynik (choć inny) i chyba widzę, czemu: oboje się pomyliliśmy (przy czym chyba mój błąd doprowadził i Ciebie do tej postaci, więc przepraszam).
Z tej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{{\blue \cos x \sin(n+1)x-\sin(n+1)x}-\cos(n+1)x\sin x+\sin x}{4\sin^{2} \frac{x}{2} }}\)
przecież uzyskujemy
\(\displaystyle{ \frac{{\red-} \sin \frac{x}{2} \sin (n+1)x - \cos (n+1)x \cos \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} {2 \sin \frac{x}{2} }}\),
gdyż jak w niebieskim wyłączymy przed nawias \(\displaystyle{ \sin(n+1)x}\), to otrzymamy w nawiasie
\(\displaystyle{ \cos x-1={\red -}2\sin^{2}\frac x 2}\)
Wobec tego dalej dostaniemy cosinus różnicy (z minusem), a nie cosinus sumy i po zastosowaniu jeszcze wzoru na różnicę cosinusów do
\(\displaystyle{ \cos \frac x 2 -\cos \left(\left( n+\frac 1 2\right)x \right)}\)
oraz nieparzystości sinusa uzyskamy upragnioną tezę (jeszcze trzeba podzielić licznik i mianownik przez dwa, ale to akurat oczywiste).


To tyle, bo powinienem jeszcze coś naskrobać na znienawidzone przeze mnie programowanie
(dowodów nie umiem przeprowadzać, choć chciałbym, obliczeń nie lubię, programowanie to już w ogóle mnie odrzuca, chyba nie te studia wybrałem ).

[4neta]

Zaczęłam wszystko od zera. Przepiszę od momentu, co do którego ustaliliśmy, że na pewno jest dobry:

\(\displaystyle{ \frac{ {\blue - \sin \frac{x}{2} \sin (n+1)x - \cos (n+1)x \cos \frac{x}{2} } + \cos \frac{x}{2}} {2 \sin \frac{x}{2} } = \\
= \frac{ {\blue - ( \sin \frac{x}{2} \sin (n+1)x + \cos (n+1)x \cos \frac{x}{2} ) } + \cos \frac{x}{2}} {2 \sin \frac{x}{2} }}\)

Stosuję wzór na cosinus różnicy
\(\displaystyle{ = \frac{ {\blue - \cos (x(n+1) - \frac{x}{2} ) } + \cos \frac{x}{2}} {2 \sin \frac{x}{2} } = \\
= \frac{ {\blue - \cos (xn+x - \frac{x}{2} ) } + \cos \frac{x}{2}} {2 \sin \frac{x}{2} } = \\
= \frac{ \blue - \cos (xn+ \frac{x}{2} ) + \cos \frac{x}{2}} {2 \sin \frac{x}{2} }}\)

Stosuję wzór na różnicę cosinusów
\(\displaystyle{ \frac{ -2 \sin \frac{x(n+1)}{2} \sin \frac{-xn}{2} } {2 \sin \frac{x}{2} }}\)

O, i skoro sinus jest funkcją nieparzystą, to \(\displaystyle{ -\sin \frac{-xn}{2}=\sin \frac{xn}{2}}\) i teza została udowodniona. Gorąco dziękuję za poświęcony czas!

[Premislav]

Rzecz jasna wszystko jest w porządku. Fajnie, że w końcu to udowodniłaś tą metodą.