Zamiana z postaci algebraicznej na postać wykładniczą i ...

[Korbeleeek]

Zamiana z postaci algebraicznej na postać wykładniczą i trygonometryczną.

\(\displaystyle{ z= 3-4j}\)

To jest przykład i jak robię tak jak na uczono to nie wychodzi tylko ten przykład, chciałbym zobaczyć jak wy to rozwiązujecie.
Wiem jest to łatwe lecz nie rozumiem tego przykładu.

Pozdrawiam

EDIT.
Robię to do momentu obliczenia \(\displaystyle{ \varphi}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt{3 ^{2} + (-4)^{2} }
r = \sqrt{25} = 5}\)

\(\displaystyle{ \sin (\varphi)= \frac{b}{r} = \frac{-4}{5} = -0.8}\)

\(\displaystyle{ \cos (\varphi)= \frac{a}{r} = \frac{3}{5} = 0.6}\)

I teraz jak z tego obliczyć \(\displaystyle{ \varphi}\) i resztę ?

[M Maciejewski]

Po pierwsze ustalmy, w jakiej ,,ćwiartce" jest kąt \(\displaystyle{ \varphi}\). Sinus jest ujemny, ale kosinus dodatni, więc jest to czwarta ćwiartka. To było oczywiste, ponieważ liczba \(\displaystyle{ z}\) jest w czwartej ćwiartce.

Tak więc możemy poszukać kąta \(\displaystyle{ \varphi\in (-\pi/2,0)}\). Będzie to taki kąt, że \(\displaystyle{ \sin(\psi)=0,8}\), \(\displaystyle{ \psi\in(0,\pi/2)}\), gdzie \(\displaystyle{ \psi=-\varphi}\).
Zatem \(\displaystyle{ \psi=\arcsin 0,8}\), a stąd \(\displaystyle{ \varphi=-\arcsin 0,8}\).

[Korbeleeek]

OK, a można by było w ogóle pominąć obliczanie \(\displaystyle{ \sin \varphi}\) i \(\displaystyle{ \cos \varphi}\) ?
A obliczać zaraz ze wzoru \(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{b}{a}}\) i wyszło by wtedy 15 (stopni) czyli

\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}}\)
Czy niestety nie mogę tak zrobić ?

[kalwi]

Możesz od razu policzyć kąt z takiego wzoru:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e041ffe2d27f64f05e02893cba0417cdea78e9

[Korbeleeek]

Ok, czyli to samo co napisałem wyżej takie wyniki będą ?-- 8 cze 2016, o 19:23 --No Dzięki za pomoc, a teraz chciałbym abyście mi sprawdzili to co zrobiłem.

[M Maciejewski]

OK, a można by było w ogóle pominąć obliczanie \(\displaystyle{ sin \varphi}\) i \(\displaystyle{ cos \varphi}\) ?
A obliczać zaraz ze wzoru \(\displaystyle{ \varphi = arctg \frac{b}{a}}\).

Można korzystać z tego wzoru, ale trzeba uważać na to, co napisał kalwi. Chodzi o to, że \(\displaystyle{ \tan \alpha=\tan(\alpha+\pi)}\), więc sama znajomość \(\displaystyle{ \arctan\frac ba}\) jeszcze nie wystarczy, ale trzeba jeszcze wiedzieć, w której ćwiartce będzie ten kąt.

Nie wiem, skąd wyszło Ci \(\displaystyle{ 15^\circ}\). Przecież \(\displaystyle{ \tan\varphi=\frac{-0,8}{0,6}=-\frac 43}\). Ale nieważne. Mając tę wartość możemy obliczyć, że \(\displaystyle{ \varphi=-\arctan\frac 43}\) lub \(\displaystyle{ \varphi=-\arctan\frac 43+\pi}\). Znajomość, w której ćwiartce jest ten kąt pozwala otrzymać, że \(\displaystyle{ \varphi=-\arctan\frac 43}\).

[Korbeleeek]

\(\displaystyle{ ctg = \frac{a}{b} = \frac{3}{-4}}\)

I chciałbym abyście sprawdzili to co jest w dwóch linkach tam są wszystkie zadania.
A to to nie wiem, jak nie macie co robić to fajnie jak byście to jedno zadanko rozwiązali
Dzięki

[kalwi]

Nie tak działa to forum. Chcesz mieć coś sprawdzonego -> zapisz to w LaTeX-u, a nie dawaj zdjęcia.