Witam. Proszę o pomoc w obliczeniu następującej liczby:
\(\displaystyle{ (5+ i \sqrt{12}) ^{5}}\)
Mój sposób:
\(\displaystyle{ 5+ i \sqrt{12}=r(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5=r \cos \varphi \\
\sqrt{12}=r \sin \varphi \end{cases} \quad
\begin{cases} 25=r ^{2} \cos ^{2} \varphi \\
12=r ^{2} \sin ^{2} \varphi \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 37=r ^{2}(\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi ) \\
\sqrt{37} = r \quad r>0 \\
\begin{cases} 5=\sqrt{37} \cos \varphi \\
\sqrt{12}=\sqrt{37} \sin \varphi \end{cases} \quad
\begin{cases} \frac{25}{\sqrt{37}} =\cos \varphi \\
\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{37}} = \sin \varphi \end{cases}}\)
Korzystam ze wzoru Moivre'a:
\(\displaystyle{ (5+ i \sqrt{12}) ^{5} = r ^{5} (\cos 5\varphi + i \sin 5\varphi) \\
(5+ i \sqrt{12}) ^{5} = \sqrt{37} ^{5} (\cos 5\varphi + i \sin 5\varphi)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{5}{ \sqrt{37} } = \cos \varphi \\
\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{37}} = \sin \varphi \end{cases}}\)
Korzystam ze wzorów na \(\displaystyle{ \sin 4 \varphi}\) i na \(\displaystyle{ \sin (4 \varphi + \varphi)}\), analogicznie z \(\displaystyle{ \cos \varphi}\).
I tu niestety wychodzi mi
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos 5\varphi = \frac{-8275}{ \sqrt{37} ^{5} } \\
\sin 5\varphi = \frac{538 \sqrt{3} }{ \sqrt{37} ^{5} }\end{cases}}\)
A zgodnie z odpowiedzią: \(\displaystyle{ (5+ i \sqrt{12}) ^{5} = 2 ^{9}(1-i \sqrt{3})}\) powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos 5\varphi = \frac{512}{ \sqrt{37} ^{5} } \\
\sin 5\varphi = \frac{512 \sqrt{3} }{ \sqrt{37} ^{5} }\end{cases}}\)
Moje pytanie brzmi: czy popełniłam błąd przy wyliczaniu \(\displaystyle{ \cos 5\varphi}\) i \(\displaystyle{ \sin 5\varphi}\) czy wcześniej? Liczyłam te wartości różnymi sposobami i zawsze wychodził ten sam wynik. W razie potrzeby wstawię je (zajmują trochę miejsca).
Z góry dziękuję za pomoc!
Obliczyć liczbę zespoloną
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Obliczyć liczbę zespoloną
Błąd popełnił pracownik, który składał tę książkę, myląc 2 z 5.
\(\displaystyle{ \left( 2+i \sqrt{12} \right)^5=(4( \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} ))^5=(4( \cos 60 ^{o} +i \sin 60 ^{o} ))^5=\\=4^5( \cos 300 ^{o} +i \sin 300 ^{o} )=2 ^{10}( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = 2 ^{9}( 1-i \sqrt{3} )}\)
\(\displaystyle{ \left( 2+i \sqrt{12} \right)^5=(4( \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} ))^5=(4( \cos 60 ^{o} +i \sin 60 ^{o} ))^5=\\=4^5( \cos 300 ^{o} +i \sin 300 ^{o} )=2 ^{10}( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = 2 ^{9}( 1-i \sqrt{3} )}\)