Liczby Zespolone

[Alu]

Witam potrzebuje pomocy z 2 zadaniami i chciałbym żeby ktoś mógł mi pokazać prawidłowe rozwiązania jeżeli zrobiłem źle.
1 Na płaszczyznie zespolonej zaznacz zbiór :


\(\displaystyle{ |iz+5i| \ge 5}\)
\(\displaystyle{ Arg (5i)<=Arg z < Arg(−5)}\)




w 1 wyszedł mi środek okręgu o współrzędnych 0,5 i promieniu 5
w 2 wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le x \le 0}\)
( mógłby ktoś sprawdzić ?)

2 Oblicz wszystkie rozwiązania z równania , zaznacz rozwiazania na płaszczyznie zespolonej

\(\displaystyle{ \frac{ i^{5}\cdot z^{4} }{ (1+3i)^{4} }}\)= i

Tutaj wychodzi mi tylko

\(\displaystyle{ z=1+3i}\) ale pewnie jest więcej rozwiązań których nie mogę znaleźć

[kerajs]

1
\(\displaystyle{ \left| iz+5i \right| \ge 5}\)
\(\displaystyle{ \left| i(z+5) \right| \ge 5}\)
\(\displaystyle{ \left| i\right| \left| z+5\right| \ge 5}\)
\(\displaystyle{ 1\left| z+5\right| \ge 5}\)
\(\displaystyle{ \left| z+5\right| \ge 5}\)
To cała płaszczyzna bez wnętrza okręgu o środku w \(\displaystyle{ -5+i0}\) i promieniu 5


\(\displaystyle{ Arg (5i) \le Arg z < Arg(-5)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le \alpha < \pi}\)


2.
\(\displaystyle{ \frac{ i^{5}\cdot z^{4} }{ (1+3i)^{4} }=i}\)
\(\displaystyle{ i^{5}\cdot z^{4}=i(1+3i)^{4}\\
i^{4}\cdot z^{4}=(1+3i)^{4}\\
z^{4}=(1+3i)^{4}\\
z= \sqrt[4]{(1+3i)^{4}}=(1+3i) \sqrt[4]{1} \\
z_1=(1+3i)\\
z_2=i(1+3i)\\
z_3=...\\
z_4=...}\)

[Alu]

W zadaniu 2 metode obliczania rozumiem jak najbardziej , jednak nie wiem skąd biorą się te dalsze rozwiązania

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{1} =\left( \cos \left( 0+k2 \pi \right)+i\sin \left( 0+k2 \pi \right) \right) ^{ \frac{1}{4} } =
\cos \left( k \frac{ \pi }{2} \right)+i\sin \left( k \frac{ \pi }{2} \right) =}\)
\(\displaystyle{ =\begin{cases} \cos \left( k \frac{ \pi }{2} \right)+i\sin \left( k \frac{ \pi }{2} \right) &\text{dla } k=...-4,0,4,8,....\\ \cos \left( k \frac{ \pi }{2} \right)+i\sin \left( k \frac{ \pi }{2} \right) &\text{dla } k=...-3,1,5,9,....\\\cos \left( k \frac{ \pi }{2} \right)+i\sin \left( k \frac{ \pi }{2} \right) &\text{dla } k=...-2,2,6,10,....\\\cos \left( k \frac{ \pi }{2} \right)+i\sin \left( k \frac{ \pi }{2} \right) &\text{dla } k=...-1,3,7,11,.... \end{cases}=\begin{cases} 1 &\text{dla } k=...-4,0,4,8,....\\ i &\text{dla } k=...-3,1,5,9,....\\ -1 &\text{dla } k=...-2,2,6,10,....\\ -i &\text{dla } k=...-1,3,7,11,.... \end{cases}}\)

b)
\(\displaystyle{ z_1= 1}\)
a pozostałe pierwiastki odczytujesz z rysunku.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-2,0)--(0,2)--(2,0)--(0,-2)--cycle;
\draw (-2.5,0)--(3,0) ;
\draw (2.6,0.1)--(3,0)--(2.6,-0.1);
\draw (0,-2.5)--(0,3) ;
\draw (0.1,2.6)--(0,3)--(-0.1,2.6);

\draw (0,0)circle(2);
\draw [red](2,0)circle(0.01);
\draw [red](2,0)circle(0.03);
\draw [red](2,0)circle(0.05);
\draw [red](2,0)circle(0.07);
\draw [red](-2,0)circle(0.01);
\draw [red](-2,0)circle(0.03);
\draw [red](-2,0)circle(0.05);
\draw [red](-2,0)circle(0.07);
\draw [red](0,2)circle(0.01);
\draw [red](0,2)circle(0.03);
\draw [red](0,2)circle(0.05);
\draw [red](0,2)circle(0.07);
\draw [red](0,-2)circle(0.01);
\draw [red](0,-2)circle(0.03);
\draw [red](0,-2)circle(0.05);
\draw [red](0,-2)circle(0.07);
\end{tikzpicture}}\)

[Alu]

Dzięki wielkie już rozumiem jak to się wylicza ! . Mam jeszcze 2 wątpliwośći , a nie chce zakładać nowego tematu jak wyliczać tutaj . Po prawej stronie wychodzi mi od razu 2, jednak nie wiem co zrobić z mianownikiem po lewej stronie czy powinienem sprowadzić do wspólnego mianownika z "z" i potem sprężenie(a może od razu sprężenie ? ) czy może przemnożyć 2-i przez obie strony ? .

\(\displaystyle{ |\frac {2i+1}{2-i} + z | \le | \sqrt{2} + i \sqrt{2}|}\)


+ nadal nie potrafie zrozumieć tego przekształcenia , ta potęgia przy nawiasie mnie myli :/\(\displaystyle{ z= \sqrt[4]{(1+3i)^{4}}=(1+3i) \sqrt[4]{1}}\) znika nam potęga ?

[Premislav]

Zapis \(\displaystyle{ \sqrt{}}\) w przypadku pierwiastków algebraicznych nie jest zbyt szczęśliwy, gdyż u początkujących prowadzi właśnie do takich wątpliwości. Trzeba zrozumieć, co to są pierwiastki algebraiczne (a to masz opisane w książkach czy w internecie) i wtedy nie będzie problemu.

\(\displaystyle{ \left|\frac {2i+1}{2-i} + z \right| \le | \sqrt{2} + i \sqrt{2}| \Leftrightarrow \left|\frac {2i+1}{2-i} + z \right| \le 2 \Leftrightarrow \left| i+z \right| \le 2 \Leftrightarrow}\)
Otrzymujesz domknięte koło na płaszczyźnie Gaussa o środku
w \(\displaystyle{ (0,-1)=-i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ \frac{2i+1}{2-i}= \frac{(2i+1)(2+i)}{4-i^{2}}= \frac{5i}{5}=i}\)