Obliczyć liczbę zespoloną

[4neta]

Witam, proszę o pomoc w obliczeniu poniższej liczby:
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)

Posługuję się metodą opisaną w książce:
\(\displaystyle{ -3-4i=r (\cos \varphi + i \sin \varphi)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3=r \cos \varphi \\ -4=r \sin \varphi \end{cases}
\quad \begin{cases} 9=r ^{2} \cos ^{2} \varphi \\ 16=r ^{2} \sin ^{2} \varphi \end{cases}}\)

Po dodaniu stronami otrzymuję:
\(\displaystyle{ 25=r ^{2}( \cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi)}\)
\(\displaystyle{ 25=r ^{2} \wedge r>0 \Rightarrow 5=r}\)

Podstawiam do pierwszego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3=5 \cos \varphi \\ -4=5 \sin \varphi \end{cases}
\quad \begin{cases} - \frac{3}{5} = \cos \varphi \\ - \frac{4}{5} = \sin \varphi \end{cases}}\)

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie wartości kąta \(\displaystyle{ \varphi}\). W zadaniu przykładowym wychodziły takie wartości \(\displaystyle{ \sin \varphi}\) i \(\displaystyle{ \cos \varphi}\), że dało się łatwo przedstawić wartość \(\displaystyle{ \varphi}\) za pomocą wielokrotności liczby \(\displaystyle{ \pi}\). Moje pytanie brzmi: czy w tym przypadku mam szacować wartość \(\displaystyle{ \varphi}\), czy wyznaczyć ją dokładnie i w jaki sposób mam to zrobić?
Z góry dziękuję za pomoc

Odpowiedź do zadania to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \pm (1-2i)}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=z}\)

\(\displaystyle{ -3-4i=z^2=(x+iy)^2}\)

Podnosisz do kwadratu i dostajesz uklad rownan

[a4karo]

Moje pytanie brzmi: czy w tym przypadku mam szacować wartość \(\displaystyle{ \varphi}\), czy wyznaczyć ją dokładnie i w jaki sposób mam to zrobić?
Z góry dziękuję za pomoc

Wiesz, że \(\displaystyle{ -3-4i=5(cos\varphi + i\sin\varphi)}\). Czy wiesz jaki będzie moduł oraz argument liczby \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) ?
Zadanie sprowadza się do wyznaczenia \(\displaystyle{ \cos\frac{\varphi}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin\frac{\varphi}{2}}\). To można zrobić bez wyznaczania dokładnej wartości kąta \(\displaystyle{ \varphi}\). (wzory na kąty połówkowe)

[4neta]

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=z}\)

\(\displaystyle{ -3-4i=z^2=(x+iy)^2}\)

Podnosisz do kwadratu i dostajesz uklad rownan

\(\displaystyle{ z ^{2} = (x+iy) ^{2} = x ^{2}-y ^{2} + 2xyi = -3 -4i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3 = x ^{2}-y ^{2} \\ -4=2xy \end{cases}}\)
Dalej popełniam błędy rachunkowe, bo nic sensownego nie wychodzi. Zaraz spróbuję jeszcze raz.

Wiesz, że \(\displaystyle{ -3-4i=5(cos\varphi + i\sin\varphi)}\). Czy wiesz jaki będzie moduł oraz argument liczby \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) ?
Zadanie sprowadza się do wyznaczenia \(\displaystyle{ \cos\frac{\varphi}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin\frac{\varphi}{2}}\). To można zrobić bez wyznaczania dokładnej wartości kąta \(\displaystyle{ \varphi}\). (wzory na kąty połówkowe)

Hm, to moje pierwsze kroki w tym dziale, więc jeszcze nie zdążyłam powiązać wszystkich własności liczb zespolonych.
Moduł i argument potrafię odczytać z liczby \(\displaystyle{ -3-4i=5(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\), ponieważ widać to od razu, a z liczby \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) niestety jeszcze nie.
Skąd wiadomo, że zadanie sprowadza się do wyznaczenia \(\displaystyle{ \cos\frac{\varphi}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin\frac{\varphi}{2}}\)? Stąd, że podnosiliśmy liczbę \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\) do kwadratu, więc przy obliczaniu tej liczby skorzystamy ze wzoru Moivre'a i otrzymamy \(\displaystyle{ -3-4i = 5 ^{2} (\cos 2 \theta + i \sin 2 \theta)}\)? I \(\displaystyle{ 2 \theta = \varphi}\). Chyba coś mi się rozjaśniło.

[a4karo]

A znasz wzór Eulera?

[4neta]

Nie było go w książce (czyli wg autorów da się rozwiązać to zadanie bez niego), ale znalazłam go w internecie: \(\displaystyle{ e ^{ix} = \cos x + i \sin x}\). W jaki sposób powinnam go wykorzystać?

[a4karo]

Sorry, mialem na myśli wzor de Moivre'a .

Myślę, że teraz wszystko jasne , chociaz zapis \(\displaystyle{ -3-4i=5^2\ldots}\) mnie nie przekonuje.

[4neta]

Spróbuję dokończyć wieczorem bądź jutro, dobrze? Wstępnie dziękuję za pomoc, a4karo i miodzio1988.

-- 27 maja 2016, o 21:30 --

a4karo: Tak, zapis \(\displaystyle{ -3-4i = 5 ^{2} (\cos 2 \theta + i \sin 2 \theta)}\) był niepoprawny. Musiałam przysiąść na spokojnie, by zrozumieć co mam podnieść do kwadratu, do czego przyrównać i dlaczego nagle wprowadza się nowe zmienne.

Dla formalności opiszę moje dalsze działania:
1) \(\displaystyle{ -3-4i=5(cos\varphi + i\sin\varphi)}\)
2) \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=p(\cos\theta + i\sin\theta)}\) (podnoszę do kwadratu i korzystam ze wzoru Moivre'a)
3) \(\displaystyle{ -3-4i=p^{2}(\cos 2\theta + i\sin 2\theta)}\)
Równania 1) i 3) są równoważne, stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p ^{2}=5 \\
cos\varphi = \cos 2\theta \\
i \sin \varphi = i \sin 2\theta \\
\end{cases}}\)
Kluczem jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p= \sqrt{5} \\
\varphi = 2\theta
\end{cases}}\)
A mam obliczyć:
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=p(\cos\theta + i\sin\theta)= \sqrt{5} (\cos \frac{\varphi}{2} + i\sin \frac{\varphi}{2})}\)
I skoro wiem, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{3}{5} = \cos \varphi \\ - \frac{4}{5} = \sin \varphi \end{cases}}\)
to mogę łatwo obliczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{\varphi}{2}}\) i \(\displaystyle{ \cos \frac{\varphi}{2}}\) ze wzorów poznanych w liceum.
Wynik wychodzi mi jak w odpowiedziach.

Serdecznie dziękuję, zaoszczędziłam dużo czasu i nerwów.